Uma bola de aço de massa 0,500 \mathrm{~kg} está presa em uma extremidade de uma corda de 70,0 \mathrm{~cm} de comprimento. A outra extremidade está fixa. A bola é liberada quando a corda está na horizontal. Na
parte mais baixa da trajetória, a bola se choca com um bloco de metal de 2,50 \mathrm{~kg} inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito. A colisão é elástica. Determine /
a) a velocidade escalar da bola depois da colisão;
b) a velocidade escalar do bloco depois da colisão.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte.
Dados fornecidos:
  • Massa da bola (pequena): m_1 = 0{,}500\\ \mathrm{kg}.
  • Comprimento da corda (raio do movimento): L = 70{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}700\\ \mathrm{m}.
  • A bola é solta com a corda na horizontal (ou seja, a partir de 90^\circ em relação à vertical).
  • A bola atinge a posição mais baixa (vertical) adquirindo velocidade e colide elasticamente com um bloco inicialmente em repouso.
  • Massa do bloco: m_2 = 2{,}50\\ \mathrm{kg}.
  • Superfície sem atrito (apenas a colisão importa).
  • Colisão é elástica (energia cinética e quantidade de movimento conservadas).
O que o problema pede:
(a) a velocidade escalar da bola depois da colisão;
(b) a velocidade escalar do bloco depois da colisão.
Observação: a colisão é unidimensional ao longo da direção do movimento na posição mais baixa; portanto podemos tratar como colisão frontal 1D.

Passo 2

Determinar a velocidade da bola no instante imediatamente antes da colisão (na parte mais baixa da trajetória), usando conservação da energia mecânica entre a posição inicial (corda horizontal) e a posição mais baixa.
Conceito usado (aula rápida): Em ausência de atrito, a energia mecânica total é conservada. A bola parte do repouso na posição horizontal, portanto sua energia inicial é energia potencial gravitacional. Na posição mais baixa essa energia potencial virou energia cinética. As fórmulas:
  • Energia potencial gravitacional: \displaystyle U = m g h, onde m é a massa, g é a aceleração da gravidade e h é a variação de altura.
  • Energia cinética: \displaystyle K = \tfrac{1}{2} m v^2, onde v é a velocidade.
Aqui a variação de altura h entre a posição horizontal e a posição mais baixa é igual a L. Explicando: na posição horizontal o corpo está no mesmo nível do ponto de suspensão (mesma altura do pivô); na posição mais baixa o corpo está a uma distância L abaixo do pivô, logo desceu uma altura h=L.
Aplicando conservação de energia:
m_1 g h = \tfrac{1}{2} m_1 v_{1i}^2,
onde v_{1i} é a velocidade da bola imediatamente antes da colisão. Cancelando m_1 e isolando v_{1i}:
v_{1i} = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 g L}.
Substituindo g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} e L = 0{,}700\\ \mathrm{m}:
v_{1i} = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}700} = \sqrt{13{,}72} \approx 3{,}70\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade da bola antes da colisão é \;v_{1i}\approx 3{,}70\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Modelagem da colisão e equações fundamentais.
Conceitos usados (aula rápida):
  • Em uma colisão elástica unidimensional entre duas massas m_1 (com velocidade inicial v_{1i}) e m_2 (com velocidade inicial v_{2i}), aplicam-se duas leis:
    1. Conservação da quantidade de movimento (momentum): m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f},onde v_{1f} e v_{2f} são as velocidades após a colisão.
    2. Conservação da energia cinética: \tfrac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_{2i}^2 = \tfrac{1}{2} m_1 v_{1f}^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_{2f}^2.
No nosso caso o bloco está inicialmente em repouso, então v_{2i}=0. As equações ficam:
m_1 v_{1i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f},
\tfrac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 = \tfrac{1}{2} m_1 v_{1f}^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_{2f}^2.
Objetivo: resolver esse sistema para v_{1f} e v_{2f} em termos de m_1, m_2 e v_{1i}.

Passo 4

Resolver o sistema para obter fórmulas fechadas (aula passo a passo de álgebra).
Começamos isolando v_{2f} a partir da conservação do momentum:
v_{2f} = \frac{m_1}{m_2} (v_{1i} - v_{1f}).
Substituímos essa expressão na equação de energia (multiplicada por 2 para simplificar):
m_1 v_{1i}^2 = m_1 v_{1f}^2 + m_2 v_{2f}^2.
Substituindo v_{2f}:
m_1 v_{1i}^2 = m_1 v_{1f}^2 + m_2 \left[\frac{m_1}{m_2}(v_{1i} - v_{1f})\right]^2 = m_1 v_{1f}^2 + \frac{m_1^2}{m_2} (v_{1i} - v_{1f})^2.
Dividindo tudo por m_1:
v_{1i}^2 = v_{1f}^2 + \frac{m_1}{m_2}(v_{1i} - v_{1f})^2.
Para simplificar a escrita, defina a=\dfrac{m_1}{m_2}. Então:
v_{1i}^2 = v_{1f}^2 + a(v_{1i} - v_{1f})^2.
Expandindo o quadrado:
v_{1i}^2 = v_{1f}^2 + a(v_{1i}^2 - 2 v_{1i} v_{1f} + v_{1f}^2).
Agrupando termos:
v_{1i}^2 = v_{1f}^2(1 + a) + a v_{1i}^2 - 2 a v_{1i} v_{1f}.
Passando todos os termos para um lado e reordenando em função de v_{1f}:
(1 + a) v_{1f}^2 - 2 a v_{1i} v_{1f} - (1 - a) v_{1i}^2 = 0.
Isto é uma equação quadrática em v_{1f}. Usando a fórmula de Bhaskara (quadrática), os coeficientes são:
A = 1 + a,\quad B = -2 a v_{1i},\quad C = -(1 - a) v_{1i}^2.
O discriminante é
\Delta = B^2 - 4 A C = 4 a^2 v_{1i}^2 - 4(1 + a)\big[-(1 - a) v_{1i}^2\big] = 4 v_{1i}^2 \big(a^2 + (1 + a)(1 - a)\big) = 4 v_{1i}^2.
Logo \sqrt{\Delta} = 2 v_{1i}. Assim as raízes são
v_{1f} = \frac{2 a v_{1i} \pm 2 v_{1i}}{2(1 + a)} = \frac{v_{1i}(a \pm 1)}{1 + a}.
Duas soluções aparecem, mas a fisicamente correta (a que corresponde à colisão não-trivial) é
v_{1f} = v_{1i}\,\frac{a - 1}{a + 1}.
Voltando a a=\dfrac{m_1}{m_2} e simplificando:
v_{1f} = v_{1i}\,\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}.
Agora obtemos v_{2f} usando a expressão do momentum que já tínhamos:
v_{2f} = \frac{m_1}{m_2}(v_{1i} - v_{1f}).
Substituindo v_{1f} na expressão e simplificando (ou usando a fórmula padrão conhecida), chega-se a:
v_{2f} = v_{1i}\,\frac{2 m_1}{m_1 + m_2}.
Resumo das fórmulas finais (para o caso v_{2i}=0):
\boxed{\,v_{1f} = v_{1i}\,\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,} \qquad\text{e}\qquad \boxed{\,v_{2f} = v_{1i}\,\frac{2 m_1}{m_1 + m_2}\,}.

Passo 5

Aplicar as fórmulas aos números do problema.
Dados numéricos recapitulando:
m_1 = 0{,}500\\ \mathrm{kg},\quad m_2 = 2{,}50\\ \mathrm{kg},\quad v_{1i} \approx 3{,}70\\ \mathrm{m/s}.
Calcular v_{1f}:
v_{1f} = v_{1i}\,\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = 3{,}70\cdot\frac{0{,}500 - 2{,}50}{0{,}500 + 2{,}50} = 3{,}70\cdot\frac{-2{,}00}{3{,}00} = 3{,}70\cdot(-0{,}666\ldots) \approx -2{,}47\\ \mathrm{m/s}.
O sinal negativo indica que a bola inverte a direção (ricocheteia para trás). A velocidade escalar (módulo) da bola depois da colisão é
|v_{1f}| \approx 2{,}47\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular v_{2f}:
v_{2f} = v_{1i}\,\frac{2 m_1}{m_1 + m_2} = 3{,}70\cdot\frac{2\cdot 0{,}500}{0{,}500 + 2{,}50} = 3{,}70\cdot\frac{1{,}00}{3{,}00} = 3{,}70\cdot 0{,}333\ldots \approx 1{,}23\\ \mathrm{m/s}.
A velocidade escalar do bloco depois da colisão é \;v_{2f}\approx 1{,}23\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

2{,}47\\ \mathrm{m/s}
1{,}23\\ \mathrm{m/s}

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