Uma bola de aço de massa
está presa em uma extremidade de uma corda de
de comprimento. A outra extremidade está fixa. A bola é liberada quando a corda está na horizontal. Na
parte mais baixa da trajetória, a bola se choca com um bloco de metal de
inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito. A colisão é elástica. Determine /
a) a velocidade escalar da bola depois da colisão;
b) a velocidade escalar do bloco depois da colisão.
parte mais baixa da trajetória, a bola se choca com um bloco de metal de
a) a velocidade escalar da bola depois da colisão;
b) a velocidade escalar do bloco depois da colisão.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte.
Dados fornecidos:
- Massa da bola (pequena):
. - Comprimento da corda (raio do movimento):
. - A bola é solta com a corda na horizontal (ou seja, a partir de
em relação à vertical). - A bola atinge a posição mais baixa (vertical) adquirindo velocidade e colide elasticamente com um bloco inicialmente em repouso.
- Massa do bloco:
. - Superfície sem atrito (apenas a colisão importa).
- Colisão é elástica (energia cinética e quantidade de movimento conservadas).
O que o problema pede:
(a) a velocidade escalar da bola depois da colisão;
(b) a velocidade escalar do bloco depois da colisão.
(a) a velocidade escalar da bola depois da colisão;
(b) a velocidade escalar do bloco depois da colisão.
Observação: a colisão é unidimensional ao longo da direção do movimento na posição mais baixa; portanto podemos tratar como colisão frontal 1D.
Passo 2
Determinar a velocidade da bola no instante imediatamente antes da colisão (na parte mais baixa da trajetória), usando conservação da energia mecânica entre a posição inicial (corda horizontal) e a posição mais baixa.
Conceito usado (aula rápida): Em ausência de atrito, a energia mecânica total é conservada. A bola parte do repouso na posição horizontal, portanto sua energia inicial é energia potencial gravitacional. Na posição mais baixa essa energia potencial virou energia cinética. As fórmulas:
- Energia potencial gravitacional:
, onde é a massa, é a aceleração da gravidade e é a variação de altura. - Energia cinética:
, onde é a velocidade.
Aqui a variação de altura
entre a posição horizontal e a posição mais baixa é igual a
. Explicando: na posição horizontal o corpo está no mesmo nível do ponto de suspensão (mesma altura do pivô); na posição mais baixa o corpo está a uma distância
abaixo do pivô, logo desceu uma altura
.
Aplicando conservação de energia:
onde
é a velocidade da bola imediatamente antes da colisão. Cancelando
e isolando
:
Substituindo
e
:
Portanto a velocidade da bola antes da colisão é
Passo 3
Modelagem da colisão e equações fundamentais.
Conceitos usados (aula rápida):
- Em uma colisão elástica unidimensional entre duas massas
(com velocidade inicial ) e (com velocidade inicial ), aplicam-se duas leis: - Conservação da quantidade de movimento (momentum):
onde e são as velocidades após a colisão. - Conservação da energia cinética:
- Conservação da quantidade de movimento (momentum):
No nosso caso o bloco está inicialmente em repouso, então
. As equações ficam:
Objetivo: resolver esse sistema para
e
em termos de
,
e
.
Passo 4
Resolver o sistema para obter fórmulas fechadas (aula passo a passo de álgebra).
Começamos isolando
a partir da conservação do momentum:
Substituímos essa expressão na equação de energia (multiplicada por 2 para simplificar):
Substituindo
:
Dividindo tudo por
:
Para simplificar a escrita, defina
. Então:
Expandindo o quadrado:
Agrupando termos:
Passando todos os termos para um lado e reordenando em função de
:
Isto é uma equação quadrática em
. Usando a fórmula de Bhaskara (quadrática), os coeficientes são:
O discriminante é
Logo
. Assim as raízes são
Duas soluções aparecem, mas a fisicamente correta (a que corresponde à colisão não-trivial) é
Voltando a
e simplificando:
Agora obtemos
usando a expressão do momentum que já tínhamos:
Substituindo
na expressão e simplificando (ou usando a fórmula padrão conhecida), chega-se a:
Resumo das fórmulas finais (para o caso
):
Passo 5
Aplicar as fórmulas aos números do problema.
Dados numéricos recapitulando:
Calcular
:
O sinal negativo indica que a bola inverte a direção (ricocheteia para trás). A velocidade escalar (módulo) da bola depois da colisão é
Passo 6
Calcular
:
A velocidade escalar do bloco depois da colisão é