Uma bala de 5,20 \mathrm{~g} que se move a 672 \mathrm{~m} / \mathrm{s} atinge um bloco de madeira de 700 g inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito. A bala atravessa o bloco e sai do outro lado com a velocidade reduzida para 428 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) Qual é a velocidade final do bloco?
b) Qual é a velocidade do centro de massa do sistema bala-bloco?

Passo 1

Liste clara do que o enunciado dá e do que pede.
  • Dados (peguei diretamente do enunciado):
    • massa da bala: m_b = 5{,}20\\ \mathrm{g}.
    • velocidade inicial da bala: v_{b,i} = 672\\ \mathrm{m/s}.
    • massa do bloco: m_B = 700\\ \mathrm{g}.
    • bloco inicialmente em repouso: v_{B,i}=0.
    • velocidade final da bala (após atravessar): v_{b,f} = 428\\ \mathrm{m/s}.
  • Perguntas:
    (a) Qual é a velocidade final do bloco v_{B,f}?
    (b) Qual é a velocidade do centro de massa do sistema bala+bloco v_{\text{cm}}?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): conservação do momento linear.
  • Em um sistema isolado (sem forças externas na direção do movimento, aqui superfície sem atrito), o momento linear total se conserva.
  • O momento linear (ou quantidade de movimento) de um objeto é definido por p = m v, onde m é a massa e v a velocidade.
  • Para o sistema bala+bloco, a conservação do momento diz:
m_b v_{b,i} + m_B v_{B,i} = m_b v_{b,f} + m_B v_{B,f}.
  • Nesta equação:
    • m_b é a massa da bala,
    • v_{b,i} é a velocidade inicial da bala,
    • m_B é a massa do bloco,
    • v_{B,i} é a velocidade inicial do bloco,
    • v_{b,f} e v_{B,f} são as velocidades finais da bala e do bloco respectivamente.
  • Como v_{B,i}=0, a equação simplifica para:
m_b v_{b,i} = m_b v_{b,f} + m_B v_{B,f}.

Passo 3

Isolar v_{B,f} e mostrar a manipulação algébrica.
  • Subtraindo m_b v_{b,f} dos dois lados:
m_b v_{b,i} - m_b v_{b,f} = m_B v_{B,f}.
  • Fatorando m_b no lado esquerdo:
m_b (v_{b,i} - v_{b,f}) = m_B v_{B,f}.
  • Logo:
v_{B,f} = \frac{m_b (v_{b,i} - v_{b,f})}{m_B}.
Esta é a fórmula que vamos usar para calcular a velocidade final do bloco.

Passo 4

Converter unidades (muito importante) e substituir os números com passos de multiplicação detalhados.
  • Converter massas de gramas para quilogramas (SI):
    • m_b = 5{,}20\\ \mathrm{g} = 0{,}00520\\ \mathrm{kg}.
    • m_B = 700\\ \mathrm{g} = 0{,}700\\ \mathrm{kg}.
  • Calcular a diferença de velocidades: v_{b,i} - v_{b,f} = 672 - 428 = 244\\ \mathrm{m/s}.
  • Calcular o numerador m_b (v_{b,i} - v_{b,f}): m_b (v_{b,i} - v_{b,f}) = 0{,}00520 \times 244.Agora faço a multiplicação passo a passo:
    • 0{,}00520 \times 200 = 1{,}0400.
    • 0{,}00520 \times 40 = 0{,}2080.
    • 0{,}00520 \times 4 = 0{,}0208.
      Somando: 1{,}0400 + 0{,}2080 + 0{,}0208 = 1{,}2688.
      Portanto o numerador é 1{,}2688\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 5

Dividir pelo denominador (massa do bloco) para encontrar v_{B,f} e interpretar o resultado.
  • Usando a fórmula:
v_{B,f} = \frac{1{,}2688}{0{,}700}.
  • Realizando a divisão:
    • \dfrac{1{,}2688}{0{,}700} = 1{,}8125714\ldots\\ \mathrm{m/s}.
  • Arredondando de forma coerente com os dados (3 algarismos significativos), obtemos: v_{B,f} \approx 1{,}81\\ \mathrm{m/s},na mesma direção do movimento inicial da bala (pois o valor é positivo).

Passo 6

Agora: velocidade do centro de massa v_{\text{cm}}. Conceito e fórmula.
  • Definição: a velocidade do centro de massa de um sistema de partículas é
v_{\text{cm}} = \frac{\sum_i m_i v_i}{\sum_i m_i},
ou seja, razão entre a quantidade de movimento total e a massa total.
  • Em nosso sistema bala+bloco (no eixo horizontal):
v_{\text{cm}} = \frac{m_b v_{b} + m_B v_{B}}{m_b + m_B}.
  • Observação importante (dica de prova): se não há força externa resultante, v_{\text{cm}} é constante no tempo. Então pode-se calcular usando as velocidades iniciais ou finais; o resultado será o mesmo.

Passo 7

Calcular v_{\text{cm}} usando as velocidades iniciais (mais simples).
  • Usando valores iniciais (bloco em repouso v_{B,i}=0): v_{\text{cm}} = \frac{m_b v_{b,i} + m_B v_{B,i}}{m_b + m_B} = \frac{m_b v_{b,i}}{m_b + m_B}.
  • Substituindo números:
    • Numerador: m_b v_{b,i} = 0{,}00520 \times 672 = 3{,}4944\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
    • Massa total: m_b + m_B = 0{,}00520 + 0{,}700 = 0{,}70520\\ \mathrm{kg}.
  • Dividindo: v_{\text{cm}} = \frac{3{,}4944}{0{,}70520} \approx 4{,}95519\\ \mathrm{m/s}.
  • Arredondando coerentemente: v_{\text{cm}} \approx 4{,}96\\ \mathrm{m/s}.
  • (Verificação rápida: se calcular com as velocidades finais v_{b,f} e v_{B,f} os momentos somam ao mesmo total e dá o mesmo v_{\text{cm}}.)

Resposta

(a) v_{B,f} = 1{,}81\\ \mathrm{m/s}
(b) v_{\text{cm}} = 4{,}96\\ \mathrm{m/s}

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