Uma bola de aço de massa 0,650 kg está presa em uma extremidade de uma corda de 80,0 cm de comprimento. A outra extremidade está fixa. A bola é liberada quando a corda está na horizontal (figura ao lado). Na parte mais baixa da trajetória a bola se choca com um bloco de metal de 3,00 kg inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito. A colisão é elástica. Determine a velocidade escalar da bola imediatamente após a colisão.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma bola de aço com massa de 0,650 , kg presa em uma corda de 80,0 , cm. A corda está fixa em uma extremidade, e a bola é solta quando está na posição horizontal. Quando a bola chega na parte mais baixa do seu movimento, ela bate em um bloco de metal de 3,00 , kg que está parado em uma superfície sem atrito. A colisão é elástica, ou seja, energia cinética é conservada. Queremos descobrir qual é a velocidade da bola imediatamente depois da colisão.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de conservação de energia e conservação de quantidade de movimento em colisões elásticas. Vamos seguir passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir a velocidade da bola antes da colisão. Como a bola é liberada a partir da posição horizontal, toda a energia potencial gravitacional que ela tem lá será convertida em energia cinética na parte mais baixa do movimento.
A energia potencial gravitacional ( Ep) é dada por:
Ep = mgh
onde:
  • m é a massa da bola,
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81 , m/s^2),
  • h é a altura.
Como a corda tem comprimento de 80,0 , cm e a bola é solta da posição horizontal, a altura h é igual ao comprimento da corda:
h = 0,800 , m
A energia cinética ( Ec) na parte mais baixa é:
Ec = 12mv^2
Como Ep = Ec:
mgh = 12mv^2
gh = 12v^2
v^2 = 2gh
v = raiz2gh
Vamos calcular:
v = raiz2 times 9,81 , m/s^2 times 0,800 , m approx raiz15,696 approx 3,96 , m/s
Então, a velocidade da bola imediatamente antes da colisão é aproximadamente 3,96 , m/s.

Passo 3

Agora, vamos focar na colisão entre a bola e o bloco de metal. A colisão é elástica, o que significa que tanto a conservação da quantidade de movimento quanto a conservação da energia cinética se aplicam.
A conservação da quantidade de movimento é dada por:
m1 v1 + m2 v2 = m1 v1' + m2 v2'
onde:
  • m1 e m2 são as massas da bola e do bloco, respectivamente,
  • v1 e v2 são as velocidades antes da colisão,
  • v1' e v2' são as velocidades depois da colisão.
Como o bloco está inicialmente em repouso:
v2 = 0
Então:
m1 v1 = m1 v1' + m2 v2'
A conservação da energia cinética é:
12m1 v1^2 + 12m2 v2^2 = 12m1 v1'^2 + 12m2 v2'^2
Como v2 = 0:
12m1 v1^2 = 12m1 v1'^2 + 12m2 v2'^2
Temos duas equações com duas incógnitas ( v1' e v2'). Podemos resolver essas equações para encontrar v1', que é a velocidade da bola após a colisão.

Passo 4

Para facilitar, vamos usar as fórmulas para colisões elásticas entre dois corpos:
v1' = ( m1 - m2m1 + m2 ) v1
v2' = ( 2m1m1 + m2 ) v1
Essas fórmulas são derivadas das duas equações de conservação que mencionamos anteriormente e simplificam o processo.
Vamos substituir os valores:
m1 = 0,650 , kg m2 = 3,00 , kg v1 = 3,96 , m/s
Calculando v1':
v1' = ( 0,650 - 3,000,650 + 3,00 ) times 3,96
v1' = ( -2,353,65 ) times 3,96 approx (-0,6438) times 3,96 approx -2,55 , m/s
O sinal negativo indica que a bola mudou de direção após a colisão.

Resposta

A velocidade escalar da bola imediatamente após a colisão é aproximadamente 2,55 , m/s na direção oposta à que ela estava inicialmente.

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