1. Em um cruzamento da cidade de São Paulo, um carro compacto com massa de 950 kg que se deslocava de oeste para leste colide com uma picape com massa de 1900 kg que se deslocava do sul para o norte e avançou o sinal vermelho. Em virtude da colisão, os dois veículos ficam engavetados e após a colisão eles se deslocam a 16,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na direção a 24,0^{\circ} noroeste. Calcule o módulo da velocidade de cada veículo antes da colisão. Estava chovendo muito durante a colisão, e o atrito entre os veículos e a estrada pode ser desprezado.
Resp.: 19,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (carro), 21,9 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (caminhão).

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular o módulo da velocidade de cada veículo antes da colisão (ou seja, a velocidade do carro compacto e a velocidade da picape, antes de baterem e ficarem engavetados).
Informações dadas (peguei os valores no enunciado e na figura):
  • Massa do carro compacto: m_1 = 950\\ \mathrm{kg}.
  • Movimento inicial do carro: deslocava-se de oeste para leste (ou seja, direção +x).
  • Massa da picape: m_2 = 1900\\ \mathrm{kg}.
  • Movimento inicial da picape: deslocava-se de sul para norte (ou seja, direção +y).
  • Após a colisão os dois veículos engavetados movem-se juntos com velocidade de módulo v_f = 16{,}0\\ \mathrm{m/s} na direção a 24{,}0^\circ em relação ao eixo norte (conforme a figura).
  • Atrito entre veículos e estrada pode ser desprezado (logo, durante a colisão o sistema é isolado horizontalmente para momento linear).
Resumo do objetivo: encontrar v_1 (módulo da velocidade do carro, ao leste) e v_2 (módulo da velocidade da picape, ao norte) antes da colisão.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática):
  • Momento linear (quantidade de movimento) de um corpo é definido por \vec{p}=m\vec{v}. É um vetor, tem direção e sentido iguais aos da velocidade.
  • Em um sistema isolado (aqui, no curto intervalo da colisão e desprezando atrito lateral), a soma vetorial dos momentos antes da colisão é igual à soma após a colisão:
\vec{p}_{\text{inicial}}=\vec{p}_{\text{final}}.
  • Como o movimento inicial de cada veículo está ao longo de eixos ortogonais (carro somente em x, picape somente em y), é prático separar a conservação em componentes x e y e resolver cada uma:
\text{componente }x:\quad m_1 v_{1x}+m_2 v_{2x}=(m_1+m_2) v_{fx},
\text{componente }y:\quad m_1 v_{1y}+m_2 v_{2y}=(m_1+m_2) v_{fy}.
  • Aqui v_{1x} e v_{1y} são as componentes da velocidade do carro antes da colisão (mas o carro só tem componente x, então v_{1y}=0); o mesmo para a picape (só tem componente y, então v_{2x}=0). As componentes finais v_{fx},v_{fy} são obtidas a partir do módulo v_f e do ângulo dado.

Passo 3

Determinar as componentes x e y da velocidade final (a partir do módulo v_f e do ângulo):
  • Pela figura o vetor resultante está inclinado 24{,}0^\circ em relação ao norte com componente para o leste (ou seja, o ângulo é medido a partir do eixo +y girando no sentido horário, dando uma componente positiva em x). Portanto:
v_{fx}=v_f\sin(24{,}0^\circ), \qquad v_{fy}=v_f\cos(24{,}0^\circ).
  • Substituindo v_f=16{,}0\\ \mathrm{m/s}:
v_{fx}=16{,}0\sin(24{,}0^\circ), \qquad v_{fy}=16{,}0\cos(24{,}0^\circ).
  • Valores numéricos (usar aproximações trigonométricas):
\sin(24{,}0^\circ)\approx 0{,}4067,\qquad \cos(24{,}0^\circ)\approx 0{,}9135.
Logo
v_{fx}\approx 16{,}0\times 0{,}4067 \approx 6{,}508\\ \mathrm{m/s},
v_{fy}\approx 16{,}0\times 0{,}9135 \approx 14{,}616\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Aplicar conservação de momento na direção x para encontrar a velocidade do carro antes da colisão:
  • Na direção x: o carro contribui com m_1 v_1 (positivo para leste) e a picape não tem componente em x inicialmente, então
m_1 v_1 = (m_1+m_2) v_{fx}.
  • Isolando v_1:
v_1 = \frac{m_1+m_2}{m_1}\,v_{fx}.
  • Substituindo números ( m_1=950\\ \mathrm{kg}, m_2=1900\\ \mathrm{kg}, v_{fx}\approx 6{,}508\\ \mathrm{m/s}):
v_1 = \frac{950+1900}{950}\times 6{,}508 = \frac{2850}{950}\times 6{,}508 = 3\times 6{,}508 \approx 19{,}525\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para três algarismos significativos:
v_1 \approx 19{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Aplicar conservação de momento na direção y para encontrar a velocidade da picape antes da colisão:
  • Na direção y: o carro não tem componente inicial em y, a picape tem m_2 v_2, e o final total é (m_1+m_2)v_{fy}:
m_2 v_2 = (m_1+m_2) v_{fy}.
  • Isolando v_2:
v_2 = \frac{m_1+m_2}{m_2}\,v_{fy}.
  • Substituindo números ( v_{fy}\approx 14{,}616\\ \mathrm{m/s}):
v_2 = \frac{2850}{1900}\times 14{,}616 = 1{,}5\times 14{,}616 \approx 21{,}924\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando:
v_2 \approx 21{,}9\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo:
  • As velocidades achadas são v_1\approx 19{,}5\\ \mathrm{m/s} para o carro e v_2\approx 21{,}9\\ \mathrm{m/s} para a picape.
  • Método rápido prático para provas: separar sempre as componentes, escrever conservação de momento nas duas direções independentes e resolver as equações lineares — costuma dar conta da maioria dos problemas de colisão em duas dimensões.

Resposta

19{,}5\\ \mathrm{m/s} (carro)
21{,}9\\ \mathrm{m/s} (picape)

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