Uma bola de aço está pendurada em uma mola ideal vertical e descreve um movimento harmônico simples com um período T. No instante inicial, a bola está na posição de máximo deslocamento, A, em relação à posição de equilíbrio. Em que fração do período a bola terá um deslocamento correspondente a 0,75 A ?

Passo 1

Beleza, o exercício diz que uma bolinha de aço numa mola vertical faz Movimento Harmônico Simples de período T. No instante t=0 ela está no deslocamento máximo A. A gente quer saber em que fração de T ela chega em 0,75,A. Para isso vamos precisar da equação do MHS
x(t)=Acos(omega t+varphi)
e da relação entre frequência angular omega e período:
omega=2piT

Passo 2

Primeiro, ajusta a fase inicial varphi. Como em t=0 a bolinha está em x=A, temos
A = AcosvarphiRightarrow cosvarphi=1Rightarrow varphi=0
Logo a equação vira
x(t)=Acos(omega t),

Passo 3

Agora impõe x(t)=0,75,A:
0,75,A = Acos(omega t)Longrightarrow cos(omega t)=0,75,
Isso dá
omega t = arccos(0,75)Longrightarrow t = 1omega,arccos(0,75),
Como omega=2piT, substituindo:
t = T2pi,arccos(0,75),

Passo 4

Pra achar a fração do período, divide t por T:
tT = 12pi,arccos(0,75),
Numericamente, arccos(0,75)approx0,7227,rad, então
tTapprox0,72272piapprox0,115(ou 11,5%,T)

Resposta

A fração do período em que x=0,75,A é
boxedtT = arccos(0.75)2piapprox0,115

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