Uma bola de argila de
é arremessada para baixo de um altura de
com velocidade de
sobre uma mola com
. A argila comprime a mola por um determinado volume antes de parar por um instante.
(A) encontre a compressão máxima da mola;
(B) encontre o trabalho total realizado sobre a argila durante a compressão da mola.
(A) encontre a compressão máxima da mola;
(B) encontre o trabalho total realizado sobre a argila durante a compressão da mola.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(A) encontrar a compressão máxima da mola enquanto a bola de argila para por um instante;
(B) encontrar o trabalho total realizado sobre a argila durante a compressão da mola.
(A) encontrar a compressão máxima da mola enquanto a bola de argila para por um instante;
(B) encontrar o trabalho total realizado sobre a argila durante a compressão da mola.
Dados fornecidos (vou listar explicitamente):
Vou usar a aceleração da gravidade
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais (explicados de forma didática):
- Energia cinética: a energia de movimento de uma massa
com velocidade é dada por
onde
é a expressão que mede o quanto de energia está associada ao movimento.
- Energia potencial gravitacional: ao elevar ou baixar um objeto numa altura
num campo gravitacional , a variação de energia é
onde
é a altura medida a partir de uma referência escolhida (positivo para cima).
- Energia potencial elástica (mola): quando comprimimos/esticamos uma mola de constante elástica
por uma distância , a mola armazena
- Conservação de energia mecânica (sem perdas por atrito): a soma da energia cinética e das energias potenciais se conserva. Na situação aqui, podemos igualar a energia mecânica inicial à energia elástica final mais a energia gravitacional final no ponto de máxima compressão (onde a velocidade é zero).
- Teorema trabalho-energia: o trabalho total realizado sobre o objeto por todas as forças durante um deslocamento é igual à variação da energia cinética,
Vou usar esses princípios para montar e resolver as equações.
Passo 3
Primeiro, calculo a velocidade da argila no instante em que ela alcança o topo da mola (ou seja, antes de começar a comprimir a mola). Esse será o “estado inicial” para a fase de compressão.
Usando conservação de energia desde o lançamento até o topo da mola:
onde
é a velocidade ao atingir a mola. Isolando
:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora monto a equação de energia desde o ponto inicial (quando a bola foi lançada, ou de forma equivalente desde o topo da mola) até o ponto de compressão máxima
. Vou usar a forma que começa na posição inicial (altura
m acima do topo da mola) com velocidade
e termina na compressão máxima (deslocamento
abaixo do topo da mola) com velocidade zero.
Energia inicial (no lançamento):
Energia final (no máximo de compressão):
pois a posição final está
metros abaixo do topo da mola (portanto potencial gravitacional
se a referência zero é o topo da mola).
Igualando
:
Rearranjando para obter uma equação quadrática em
:
Passo 5
Substituo os valores numéricos na equação quadrática. Multiplico por 2 para ficar mais simples:
Agora com os números:
Calculo os coeficientes passo a passo:
Portanto a equação é
Passo 6
Resolvo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Calculo o discriminante:
Assim
A segunda raiz é negativa (não faz sentido físico como compressão positiva), logo tomo a positiva:
Portanto a compressão máxima da mola é aproximadamente
.
Passo 7
Agora encontro o trabalho total realizado sobre a argila durante a compressão da mola (isto é, durante o deslocamento desde o topo da mola até a compressão máxima).
Pelo teorema trabalho-energia, o trabalho total por todas as forças sobre a argila durante a compressão é igual à variação da energia cinética nessa fase:
No topo da mola a velocidade é
(calculada no Passo 3) e na compressão máxima a velocidade é zero, então
Usando
e
:
Verificação alternativa (opcional mas didática): o trabalho total também é soma do trabalho do peso (positivo, pois peso age na direção do deslocamento para baixo) e do trabalho da mola (negativo):
soma:
coincidindo com o resultado pelo teorema trabalho-energia.