Uma bola de argila de 5 K g é arremessada para baixo de um altura de 3 m com velocidade de 5 m / s sobre uma mola com k=1600 N / m. A argila comprime a mola por um determinado volume antes de parar por um instante.
(A) encontre a compressão máxima da mola;
(B) encontre o trabalho total realizado sobre a argila durante a compressão da mola.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(A) encontrar a compressão máxima da mola enquanto a bola de argila para por um instante;
(B) encontrar o trabalho total realizado sobre a argila durante a compressão da mola.
Dados fornecidos (vou listar explicitamente):
m = 5\\ \mathrm{kg},
\text{altura inicial} = 3\\ \mathrm{m},
v_0 = 5\\ \mathrm{m/s}\\ \text{(direção para baixo)},çã
k = 1600\\ \mathrm{N/m}.
Vou usar a aceleração da gravidade \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicados de forma didática):
  • Energia cinética: a energia de movimento de uma massa m com velocidade v é dada por
K=\tfrac{1}{2}mv^2,
onde \tfrac{1}{2}mv^2 é a expressão que mede o quanto de energia está associada ao movimento.
  • Energia potencial gravitacional: ao elevar ou baixar um objeto numa altura h num campo gravitacional g, a variação de energia é
U_g = m g h,
onde h é a altura medida a partir de uma referência escolhida (positivo para cima).
  • Energia potencial elástica (mola): quando comprimimos/esticamos uma mola de constante elástica k por uma distância x, a mola armazena
U_s = \tfrac{1}{2} k x^2.
  • Conservação de energia mecânica (sem perdas por atrito): a soma da energia cinética e das energias potenciais se conserva. Na situação aqui, podemos igualar a energia mecânica inicial à energia elástica final mais a energia gravitacional final no ponto de máxima compressão (onde a velocidade é zero).
  • Teorema trabalho-energia: o trabalho total realizado sobre o objeto por todas as forças durante um deslocamento é igual à variação da energia cinética,
W_{\text{total}}=\Delta K = K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}.
Vou usar esses princípios para montar e resolver as equações.

Passo 3

Primeiro, calculo a velocidade da argila no instante em que ela alcança o topo da mola (ou seja, antes de começar a comprimir a mola). Esse será o “estado inicial” para a fase de compressão.
Usando conservação de energia desde o lançamento até o topo da mola:
\tfrac{1}{2} m v_1^2 = \tfrac{1}{2} m v_0^2 + m g \cdot 3,
onde v_1 é a velocidade ao atingir a mola. Isolando v_1:
v_1=\sqrt{v_0^2+2 g\cdot 3}.
Substituindo os valores:
v_1=\sqrt{5^2 + 2\cdot 9{,}8\cdot 3}=\sqrt{25 + 58{,}8}=\sqrt{83{,}8}\approx 9{,}154\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora monto a equação de energia desde o ponto inicial (quando a bola foi lançada, ou de forma equivalente desde o topo da mola) até o ponto de compressão máxima x. Vou usar a forma que começa na posição inicial (altura +3 m acima do topo da mola) com velocidade v_0 e termina na compressão máxima (deslocamento x abaixo do topo da mola) com velocidade zero.
Energia inicial (no lançamento):
E_{\text{in}}=\tfrac{1}{2} m v_0^2 + m g\cdot 3.
Energia final (no máximo de compressão):
E_{\text{fin}}=\tfrac{1}{2} k x^2 + m g\cdot(-x),
pois a posição final está x metros abaixo do topo da mola (portanto potencial gravitacional =m g(-x) se a referência zero é o topo da mola).
Igualando E_{\text{in}}=E_{\text{fin}}:
\tfrac{1}{2} m v_0^2 + m g\cdot 3 = \tfrac{1}{2} k x^2 - m g x.
Rearranjando para obter uma equação quadrática em x:
\tfrac{1}{2} k x^2 - m g x - \left(\tfrac{1}{2} m v_0^2 + m g\cdot 3\right)=0.

Passo 5

Substituo os valores numéricos na equação quadrática. Multiplico por 2 para ficar mais simples:
k x^2 - 2 m g x - \left(m v_0^2 + 2 m g\cdot 3\right)=0.
Agora com os números:
1600 x^2 - 2\cdot 5\cdot 9{,}8\; x - \left(5\cdot 5^2 + 2\cdot 5\cdot 9{,}8\cdot 3\right)=0.
Calculo os coeficientes passo a passo:
-2 m g = -2\cdot 5\cdot 9{,}8 = -98,
m v_0^2 + 2 m g\cdot 3 = 5\cdot 25 + 2\cdot 5\cdot 9{,}8\cdot 3 = 125 + 294 = 419.
Portanto a equação é
1600 x^2 - 98 x - 419 = 0.

Passo 6

Resolvo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{98 \pm \sqrt{98^2 + 4\cdot 1600\cdot 419}}{2\cdot 1600}.
Calculo o discriminante:
\Delta = 98^2 + 4\cdot 1600\cdot 419 = 9604 + 2\,681\,600 = 2\,691\,204.
\sqrt{\Delta}\approx 1\,640{,}49.
Assim
x=\frac{98 + 1\,640{,}49}{3\,200}\quad\text{ou}\quad x=\frac{98 - 1\,640{,}49}{3\,200}.
A segunda raiz é negativa (não faz sentido físico como compressão positiva), logo tomo a positiva:
x\approx\frac{1\,738{,}49}{3\,200}\approx 0{,}543\\ \mathrm{m}.
Portanto a compressão máxima da mola é aproximadamente 0{,}543\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Agora encontro o trabalho total realizado sobre a argila durante a compressão da mola (isto é, durante o deslocamento desde o topo da mola até a compressão máxima).
Pelo teorema trabalho-energia, o trabalho total por todas as forças sobre a argila durante a compressão é igual à variação da energia cinética nessa fase:
W_{\text{total}}=K_{\text{final}}-K_{\text{inicial (no topo da mola)}}.
No topo da mola a velocidade é v_1 (calculada no Passo 3) e na compressão máxima a velocidade é zero, então
W_{\text{total}}=0 - \tfrac{1}{2} m v_1^2 = -\tfrac{1}{2} m v_1^2.
Usando v_1^2=83{,}8 e m=5:
W_{\text{total}} = -\tfrac{1}{2}\cdot 5 \cdot 83{,}8 = -2{,}5\cdot 83{,}8 = -209{,}5\\ \mathrm{J}.
Verificação alternativa (opcional mas didática): o trabalho total também é soma do trabalho do peso (positivo, pois peso age na direção do deslocamento para baixo) e do trabalho da mola (negativo):
W_{\text{peso}} = m g x \approx 5\cdot 9{,}8\cdot 0{,}543 \approx 26{,}6\\ \mathrm{J},
W_{\text{mola}} = -\tfrac{1}{2}k x^2 \approx -\tfrac{1}{2}\cdot 1600\cdot (0{,}543)^2 \approx -236{,}1\\ \mathrm{J},
soma:
W_{\text{total}} = 26{,}6 -236{,}1 \approx -209{,}5\\ \mathrm{J},
coincidindo com o resultado pelo teorema trabalho-energia.

Resposta

x_{\max}=0{,}543\\ \mathrm{m}
W_{\text{total}}=-209{,}5\\ \mathrm{J}

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