Uma bola é arremessada para cima, atingindo uma altura de 5 m. Usando considerações de energia, determine sua velocidade.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: uma bola é arremessada para cima e atinge uma altura máxima de \;5\\ \mathrm{m}.
  • Pedido: determinar a velocidade inicial da bola (a velocidade com que foi arremessada).
  • Suposições que fazemos (comunicar na prova se necessário): desprezamos resistência do ar e tomamos a aceleração da gravidade como \;g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}. Tomamos a altura inicial como referência \;h=0, ou seja, a bola parte de \;h=0 e sobe até \;h=5\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceitos de energia que vamos usar (explicadinhos):
  • Energia cinética: a energia associada ao movimento de um corpo com massa \;m e velocidade \;v é dada por
E_{\text{c}}=\frac{1}{2} m v^{2}.
Aqui \;m é a massa (em kg) e \;v é a velocidade (em \mathrm{m/s}). A fórmula vem da integração da força necessária para acelerar um corpo — mas para a prova basta decorá-la e entender que cresce com o quadrado de \;v.
  • Energia potencial gravitacional: a energia associada à posição vertical de um corpo de massa \;m a uma altura \;h sobre a referência é
E_{\text{p}}=m g h.
Aqui \;g é a aceleração da gravidade ( \;9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}) e \;h é a altura em metros.
  • Conservação de energia mecânica (sem atrito): a energia mecânica total (energia cinética + energia potencial) se conserva. Ou seja, a energia inicial = energia final.

Passo 3

Aplicando conservação de energia entre o instante inicial (quando a bola parte com velocidade inicial \;v) e o instante em que ela alcança a altura máxima \;h=5\\ \mathrm{m}:
  • No instante inicial: a altura é \;0 (referência), logo a energia potencial inicial é m g \cdot 0 = 0. A bola tem energia cinética
E_{\text{ci}}=\frac{1}{2} m v^{2}.
  • No ponto mais alto: a velocidade vertical é \;0 (porque naquele instante ela inverte o sentido), portanto a energia cinética final é 0. A energia potencial final é
E_{\text{pf}} = m g h.
  • Igualando energia inicial e final (conservação):
\frac{1}{2} m v^{2} = m g h.

Passo 4

Simplificação e resolução para \;v:
  • Podemos dividir os dois lados da equação por \;m (a massa cancela, por isso a resposta independe da massa da bola):
\frac{1}{2} v^{2} = g h.
  • Multiplicando ambos os lados por 2:
v^{2} = 2 g h.
  • Tomando raiz quadrada (a velocidade inicial é positiva no módulo):
v = \sqrt{2 g h}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos e calculando (mostrando contas passo a passo):
  • Substituindo \;g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} e \;h=5\\ \mathrm{m}:
v = \sqrt{2\cdot 9,8 \cdot 5}.
  • Calculando o produto:
2\cdot 9,8 = 19,6,
19,6 \cdot 5 = 98.
  • Logo
v = \sqrt{98}\approx 9,899\dots
  • Arredondando com duas casas decimais:
v \approx 9,90\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Comentário rápido (dica de prova e verificação): se você usar a aproximação g\approx 10\\ \mathrm{m/s^{2}} para cálculo rápido, obtém \;v\approx\sqrt{2\cdot10\cdot5}=\sqrt{100}=10\\ \mathrm{m/s}, que é muito próximo do valor correto. Isso é útil quando o tempo da prova é curto — mas na resposta formal prefira usar g=9,8 salvo indicação em contrário.

Resposta

\;v\approx 9,90\\ \mathrm{m/s}

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