A energia potencial de uma determinada partícula é dada por U(x, y, z)= 10 x^{2}+35 z^{3}. Encontre o vetor da força exercida sobre a partícula.

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial da partícula e pede o vetor da força sobre ela. Informações fornecidas:
U(x,y,z)=10x^{2}+35z^{3}.
Pergunta: encontrar o vetor da força \mathbf{F}(x,y,z) correspondente a essa energia potencial.

Passo 2

Conceito chave (explicação didática): para forças conservativas associadas a uma energia potencial U, a relação entre força e energia potencial é
\mathbf{F} = -\nabla U.
Aqui \mathbf{F} é o vetor força e \nabla U é o gradiente de U. O sinal negativo indica que a força aponta na direção de decrescimento mais rápido da energia potencial (ou seja, “puxa” para diminuir U).

Passo 3

O que é o gradiente \nabla U e como calculá‑lo (aula curta): o operador gradiente em coordenadas cartesianas é
\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x},\;\frac{\partial}{\partial y},\;\frac{\partial}{\partial z}\right).
Aplicando ao escalar U(x,y,z) obtemos o vetor das derivadas parciais:
\nabla U = \left(\frac{\partial U}{\partial x},\;\frac{\partial U}{\partial y},\;\frac{\partial U}{\partial z}\right).
Derivada parcial significa: derivo em relação a uma variável mantendo as outras fixas. Exemplo rápido: para f(x,y)=x^{2}+y^{3}, \partial f/\partial x=2x porque trato y como constante.

Passo 4

Calcule \displaystyle \frac{\partial U}{\partial x}. Usamos a regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Para o termo 10x^{2} temos
\frac{\partial}{\partial x}\big(10x^{2}\big)=10\cdot 2x=20x.
O termo 35z^{3} não depende de x, então sua derivada parcial em relação a x é zero. Portanto
\frac{\partial U}{\partial x}=20x.

Passo 5

Calcule \displaystyle \frac{\partial U}{\partial y}. Observação: na expressão de U não há termo com y. Logo, tratando x e z como constantes,
\frac{\partial U}{\partial y}=0.

Passo 6

Calcule \displaystyle \frac{\partial U}{\partial z}. Para o termo 35z^{3} aplicamos a regra da potência:
\frac{\partial}{\partial z}\big(35z^{3}\big)=35\cdot 3z^{2}=105z^{2}.
O termo 10x^{2} não depende de z, então não contribui. Assim
\frac{\partial U}{\partial z}=105z^{2}.

Passo 7

Monte o gradiente com as componentes encontradas:
\nabla U = \big(20x,\;0,\;105z^{2}\big).
Em notação vetorial com vetores unitários \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
\nabla U = 20x\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j} + 105z^{2}\,\mathbf{k}.

Passo 8

Aplique a relação \mathbf{F}=-\nabla U. Multiplicando o gradiente por -1 obtemos
\mathbf{F} = -\big(20x,\;0,\;105z^{2}\big) = \big(-20x,\;0,\;-105z^{2}\big).
Em notação com vetores unitários:
\mathbf{F} = -20x\,\mathbf{i} - 105z^{2}\,\mathbf{k}.

Passo 9

Interpretação rápida (motivacional): isso significa que não há componente de força ao longo de y (porque U não depende de y), enquanto no eixo x a força aponta para diminuir x quando x>0 (pois -20x fica negativo) e similarmente ao longo de z a força vale -105z^{2} (sempre não positiva), puxando em direção a z=0 no sentido negativo quando z\neq0.

Resposta

\mathbf{F}(x,y,z)=(-20x,\;0,\;-105z^{2})

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