A energia potencial de uma determinada partícula é dada por
. Encontre o vetor da força exercida sobre a partícula.
Passo 1
O enunciado dá a energia potencial da partícula e pede o vetor da força sobre ela. Informações fornecidas:
Pergunta: encontrar o vetor da força
correspondente a essa energia potencial.
Passo 2
Conceito chave (explicação didática): para forças conservativas associadas a uma energia potencial
, a relação entre força e energia potencial é
Aqui
é o vetor força e
é o gradiente de
. O sinal negativo indica que a força aponta na direção de decrescimento mais rápido da energia potencial (ou seja, “puxa” para diminuir
).
Passo 3
O que é o gradiente
e como calculá‑lo (aula curta): o operador gradiente em coordenadas cartesianas é
Aplicando ao escalar
obtemos o vetor das derivadas parciais:
Derivada parcial significa: derivo em relação a uma variável mantendo as outras fixas. Exemplo rápido: para
,
porque trato
como constante.
Passo 4
Calcule
. Usamos a regra da potência:
. Para o termo
temos
O termo
não depende de
, então sua derivada parcial em relação a
é zero. Portanto
Passo 5
Calcule
. Observação: na expressão de
não há termo com
. Logo, tratando
e
como constantes,
Passo 6
Calcule
. Para o termo
aplicamos a regra da potência:
O termo
não depende de
, então não contribui. Assim
Passo 7
Monte o gradiente com as componentes encontradas:
Em notação vetorial com vetores unitários
:
Passo 8
Aplique a relação
. Multiplicando o gradiente por
obtemos
Em notação com vetores unitários:
Passo 9
Interpretação rápida (motivacional): isso significa que não há componente de força ao longo de
(porque
não depende de
), enquanto no eixo
a força aponta para diminuir
quando
(pois
fica negativo) e similarmente ao longo de
a força vale
(sempre não positiva), puxando em direção a
no sentido negativo quando
.