Uma bola é arremessada para o alto. A altura “a” , em metros, atingida pela bola a partir do ponto de lançamento, depois de t segundos, é dada pela expressão a(t) = 20t - 5t2 . Qual a altura máxima que essa bola atingirá?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de física onde uma bola é lançada pra cima e a altura que ela atinge em metros, depois de “t” segundos, é dada pela fórmula $ a(t) = 20t - 5t^2 $. Nosso objetivo é descobrir qual é a altura máxima que essa bola vai atingir. Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática, especificamente o estudo de funções quadráticas, que nos ajuda a encontrar o ponto mais alto dessa trajetória.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a fórmula $ a(t) = 20t - 5t^2 $ representa uma função quadrática, que tem a forma geral $ a(t) = at^2 + bt + c $. Nesse caso, $ a = -5 $, $ b = 20 $ e $ c = 0 $. Como o coeficiente de $ t^2 $ é negativo ($ a = -5 $), sabemos que a parábola dessa função abre pra baixo, o que significa que ela tem um ponto de máximo.

Passo 3

Para encontrar o tempo em que a bola atinge a altura máxima, usamos a fórmula do vértice da parábola, que nos dá o valor de “t” no ponto mais alto. A fórmula é:
t = -b2a
Substituindo os valores que temos:
t = -202 times (-5) = -20-10 = 2
Então, o tempo para atingir a altura máxima é de 2 segundos.

Passo 4

Agora que sabemos que a bola atinge o ponto mais alto após 2 segundos, vamos calcular essa altura máxima substituindo $ t = 2 $ na função original:
t = 2
Portanto, a altura máxima que a bola atinge é de 20 metros.

Resposta

A altura máxima que a bola atinge é de 20 metros.

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