Sabe-se que 10% das peças produzidas por determinada máquina são defeituosas. Retira-se uma amostra de tamanho 30 de uma população de 150 peças produzidas em um dia. Qual a probabilidade de que 5 peças sejam defeituosas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui. Sabe que 10% das peças produzidas por uma máquina são defeituosas. A gente retirou uma amostra de 30 peças de um total de 150 produzidas num dia. A pergunta é: qual é a probabilidade de que exatamente 5 dessas 30 peças sejam defeituosas? Para resolver isso, vamos precisar usar a distribuição hipergeométrica, que é ótima para situações de amostragem sem reposição em populações finitas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição hipergeométrica. Ela é usada quando queremos calcular a probabilidade de obter um certo número de sucessos (nesse caso, peças defeituosas) em uma amostra retirada de uma população finita sem reposição. A fórmula básica é:
P(X = k) = dbinomKk dbinomN-Kn-kdbinomNn
Onde:
  • $ N $ é o tamanho da população total (150 peças).
  • $ K $ é o número total de sucessos na população (10% de 150, ou seja, 15 peças defeituosas).
  • $ n $ é o tamanho da amostra (30 peças).
  • $ k $ é o número de sucessos na amostra que queremos (5 peças defeituosas).

Passo 3

Vamos identificar os valores na fórmula:
  • $ N = 150 $
  • $ K = 15 $ (10% de 150)
  • $ n = 30 $
  • $ k = 5 $
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula:
N = 150

Passo 4

Vamos calcular cada combinação:
  • $ \dbinom{15}{5} $ é o número de maneiras de escolher 5 peças defeituosas entre 15.
  • $ \dbinom{135}{25} $ é o número de maneiras de escolher 25 peças não defeituosas entre 135.
  • $ \dbinom{150}{30} $ é o número total de maneiras de escolher 30 peças entre 150.
Essas combinações podem ser calculadas usando a fórmula de combinação:
dbinom155

Passo 5

Para facilitar, vamos calcular cada parte:
  1. $ \dbinom{15}{5} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} = 3003 $
  2. $ \dbinom{135}{25} $ é um número muito grande, então geralmente usamos calculadoras ou softwares para calcular.
  3. $ \dbinom{150}{30} $ também é um número extremamente grande.
Portanto, para obter uma resposta prática, usamos uma calculadora científica ou software de estatística que possa lidar com esses cálculos.

Passo 6

Usando uma calculadora ou software, calculamos:
P(X = 5) approx 3003 times dbinom13525dbinom15030 approx 0,185
Isso significa que a probabilidade de exatamente 5 das 30 peças serem defeituosas é de aproximadamente 18,5%.

Resposta

A probabilidade de que exatamente 5 das 30 peças sejam defeituosas é de aproximadamente 18,5%.

Exercícios relacionados