Seja a equação diferencial y ′′ + 4 y = 0 . Sabe-se que as funções y = c o s ( 2 x ) e y = 3 s e n ( 2 x ) são soluções da equação dada. Determine uma solução que atenda a condição inicial de y ( 0 ) = 1 e y ′ ( 0 ) = 4 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo $ y’’ + 4y = 0 $. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar as soluções gerais dessa equação e aplicar as condições iniciais dadas, que são $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 4 $.

Passo 2

Primeiro, sabemos que as soluções dadas para a equação são $ y = \cos(2x) $ e $ y = 3\sin(2x) $. Isso nos indica que a solução geral da equação diferencial pode ser escrita como uma combinação linear dessas funções. Então, a solução geral é:
y = cos(2x)
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos encontrar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a primeira condição inicial, que é $ y(0) = 1 $. Substituindo $ x = 0 $ na solução geral:
y(0) = 1
Sabemos que $ \cos(0) = 1 $ e $ \sin(0) = 0 $, então:
x = 0

Passo 4

Em seguida, vamos usar a segunda condição inicial, $ y’(0) = 4 $. Primeiro, precisamos encontrar a derivada da solução geral:
y'(0) = 4
Agora, substituindo $ x = 0 $:
y'(x) = -2A sin(2x) + 2B cos(2x)
Como $ \sin(0) = 0 $ e $ \cos(0) = 1 $:
x = 0

Passo 5

Com os valores de $ A $ e $ B $ encontrados, podemos escrever a solução específica que atende às condições iniciais:
A

Resposta

A solução que atende às condições iniciais é $ y(x) = \cos(2x) + 2\sin(2x) $.

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