Ex1:
Ache o comprimento de onda máximo da radiaçāo de corpo negro emitida pelo filamento de tungstênio de uma lâmpada, que opera a 2000 K.
Ache o comprimento de onda máximo da radiaçāo de corpo negro emitida pelo filamento de tungstênio de uma lâmpada, que opera a 2000 K.
Passo 1
O enunciado pede: “Ache o comprimento de onda máximo da radiação de corpo negro emitida pelo filamento de tungstênio de uma lâmpada, que opera a
.”
Informações dadas:
- Temperatura do filamento:
. - Queremos o comprimento de onda
para o qual a emissão é máxima.
Passo 2
Para encontrar
usamos a expressão da distribuição espectral de Planck em função do comprimento de onda. A função que dá a radiância espectral por unidade de comprimento de onda é
onde:
-
é a radiância espectral (potência por área por ângulo por comprimento de onda), -
é a constante de Planck ( ), -
é a velocidade da luz no vácuo ( ), -
é a constante de Boltzmann ( ), -
é o comprimento de onda, -
é a temperatura absoluta.
Explicação rápida: essa fórmula dá quanto de energia sai numa faixa de comprimento de onda em torno de
. Para achar o pico, precisamos achar o
que torna
máximo.
Passo 3
Maximizar
diretamente é trabalhoso, então fazemos uma mudança de variável que simplifica. Definimos
Isolando
obtemos
. Substituindo na expressão de
e simplificando (os factores que dependem só de constantes e de
podem ser colocados fora), obtemos uma função proporcional a
Mais precisamente,
então maximizar
em
é equivalente a maximizar
em
. Isso reduz o problema a encontrar o
que maximiza
.
Passo 4
Derivamos
em relação a
e igualamos a zero para achar o máximo:
A condição
dá, após simplificar por
(que não é zero):
Rearranjando:
ou equivalentemente
Essa é uma equação transcendente: não tem solução analítica em termos de funções elementares, precisamos de um método numérico para obter
.
Passo 5
Usamos Newton–Raphson para resolver numericamente
. A derivada é
Tomando uma aproximação inicial próxima, por exemplo
, fazemos iterações
Uma aplicação rápida dá:
-
, -
, - mais uma iteração já leva a
.
Portanto a constante adimensional que resolve a equação é
Passo 6
Voltando à variável
, temos
Calculemos o numerador
(é uma constante útil):
Então o chamado deslocamento de Wien é
Finalmente, para
,
Convertendo para unidades mais familiares:
Interpretação física rápida: esse valor está no infravermelho próximo, por isso a maior parte da energia emitida pelo filamento a
é infravermelha; a luz visível que vemos é a cauda do espectro.