Ex1:
Ache o comprimento de onda máximo da radiaçāo de corpo negro emitida pelo filamento de tungstênio de uma lâmpada, que opera a 2000 K.

Passo 1

O enunciado pede: “Ache o comprimento de onda máximo da radiação de corpo negro emitida pelo filamento de tungstênio de uma lâmpada, que opera a 2000\\ \mathrm{K}.”
Informações dadas:
  • Temperatura do filamento: T = 2000\\ \mathrm{K}.
  • Queremos o comprimento de onda \lambda_{\max} para o qual a emissão é máxima.

Passo 2

Para encontrar \lambda_{\max} usamos a expressão da distribuição espectral de Planck em função do comprimento de onda. A função que dá a radiância espectral por unidade de comprimento de onda é
B(\lambda,T)=\frac{2hc^{2}}{\lambda^{5}}\cdot\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1},
onde:
  • B(\lambda,T) é a radiância espectral (potência por área por ângulo por comprimento de onda),
  • h é a constante de Planck ( h=6{,}62607015\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}),
  • c é a velocidade da luz no vácuo ( c=2{,}99792458\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}),
  • k é a constante de Boltzmann ( k=1{,}380649\times 10^{-23}\\ \mathrm{J/K}),
  • \lambda é o comprimento de onda,
  • T é a temperatura absoluta.
Explicação rápida: essa fórmula dá quanto de energia sai numa faixa de comprimento de onda em torno de \lambda. Para achar o pico, precisamos achar o \lambda que torna B(\lambda,T) máximo.

Passo 3

Maximizar B(\lambda,T) diretamente é trabalhoso, então fazemos uma mudança de variável que simplifica. Definimos
x \equiv \frac{hc}{\lambda k T}.
Isolando \lambda obtemos \lambda=\dfrac{hc}{kTx}. Substituindo na expressão de B e simplificando (os factores que dependem só de constantes e de T podem ser colocados fora), obtemos uma função proporcional a
f(x)=\frac{x^{5}}{e^{x}-1}.
Mais precisamente,
B(\lambda,T)=\frac{2k^{5}T^{5}}{h^{3}c^{3}}\cdot\frac{x^{5}}{e^{x}-1},
então maximizar B em \lambda é equivalente a maximizar f(x) em x. Isso reduz o problema a encontrar o x que maximiza f(x).

Passo 4

Derivamos f(x) em relação a x e igualamos a zero para achar o máximo:
f(x)=\frac{x^{5}}{e^{x}-1}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{5x^{4}(e^{x}-1)-x^{5}e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}}.
A condição f'(x)=0 dá, após simplificar por x^{4} (que não é zero):
5(e^{x}-1)-x e^{x}=0.
Rearranjando:
e^{x}(5-x)=5,
ou equivalentemente
x=5\bigl(1-e^{-x}\bigr).
Essa é uma equação transcendente: não tem solução analítica em termos de funções elementares, precisamos de um método numérico para obter x.

Passo 5

Usamos Newton–Raphson para resolver numericamente g(x)=e^{x}(5-x)-5=0. A derivada é
g'(x)=e^{x}(4-x).
Tomando uma aproximação inicial próxima, por exemplo x_{0}=5, fazemos iterações
x_{n+1}=x_{n}-\frac{g(x_{n})}{g'(x_{n})}.
Uma aplicação rápida dá:
  • x_{0}=5 \Rightarrow x_{1}\approx 4{,}966317,
  • x_{1}\approx 4{,}966317 \Rightarrow x_{2}\approx 4{,}965112,
  • mais uma iteração já leva a x\approx 4{,}965114.
Portanto a constante adimensional que resolve a equação é
x_{\text{root}}\approx 4{,}965114.

Passo 6

Voltando à variável \lambda, temos
\lambda_{\max}=\frac{hc}{k\,x_{\text{root}}\,T}.
Calculemos o numerador \dfrac{hc}{k} (é uma constante útil):
\frac{hc}{k}\approx 0{,}01438776877\\ \mathrm{m\cdot K}.
Então o chamado deslocamento de Wien é
b\equiv\frac{hc}{k\,x_{\text{root}}}\approx\frac{0{,}01438776877}{4{,}965114}\approx 0{,}0028977719\\ \mathrm{m\cdot K}.
Finalmente, para T=2000\\ \mathrm{K},
\lambda_{\max}=\frac{b}{T}\approx\frac{0{,}0028977719}{2000}\approx 1{,}448886\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para unidades mais familiares:
\lambda_{\max}\approx 1{,}448886\\ \mu\mathrm{m}=1448{,}886\\ \mathrm{nm}.
Interpretação física rápida: esse valor está no infravermelho próximo, por isso a maior parte da energia emitida pelo filamento a 2000\\ \mathrm{K} é infravermelha; a luz visível que vemos é a cauda do espectro.

Resposta

\lambda_{\max}\approx 1{,}449\times 10^{-6}\\ \mathrm{m} (aprox. 1{,}449\\ \mu\mathrm{m}=1449\\ \mathrm{nm}).

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