Uma bola é atirada de uma altura de 30m. em cada instante, golpeia o chão e ricocheteia verticalmente a uma altura que é 2 / 3 da altura precedente. Ache a distância total que a bola percorrerá até o repouso.

Passo 1

O enunciado pede a distância total percorrida por uma bola lançada de 30 m, que ricocheteia a cada impacto a tfrac23 da altura anterior até parar. Esse problema envolve soma de série geométrica infinita.

Passo 2

Na trajetória, a bola desce 30 m na primeira queda. Em seguida, em cada ricochete n, ela sobe hn e depois desce hn, onde:
hn = 30 (tfrac23)^n

Passo 3

Montamos a soma da distância total: a primeira queda de 30 m mais o vai e vem de cada ricochete. Assim:
D = 30 + 2 sumn=1^infty 30 (tfrac23)^n

Passo 4

Reconhecemos que sumn=1^infty (tfrac23)^n é uma série geométrica com razão r=tfrac23, cuja soma vale:
sumn=1^infty r^n = r1-r = tfrac231-tfrac23 = 2

Passo 5

Substituindo na expressão de D:
D = 30 + 2 times 30 times 2 = 30 + 120 = 150

Resposta

150 m

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