Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
sumn=5^+infty(epi)^n-1

Passo 1

Temos a série sumn=5^+infty(epi)^n-1. Este exercício trata de séries geométricas. Para resolver, vamos identificar o primeiro termo e a razão, verificar o critério de convergência e aplicar a fórmula de soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Observando o termo geral (e/pi)^n-1, vemos que é uma progressão geométrica de razão r=epi. O primeiro termo, para n=5, é a=l(tfracepir)^4.

Passo 3

O teste de convergência para série geométrica diz que ela converge se e somente se |r|<1. Como e, temos |tfracepi|<1. Logo, a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica infinita com |r|<1 é dada por S=a1-r. Substituindo a=l(tfracepir)^4 e r=tfracepi, obtemos
S = l(tfracepir)^41 - tfracepi = e^4pi^3(pi - e)

Resposta

A série converge e sua soma é e^4pi^3(pi - e).

Exercícios relacionados