Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
Passo 1
Temos a série . Este exercício trata de séries geométricas. Para resolver, vamos identificar o primeiro termo e a razão, verificar o critério de convergência e aplicar a fórmula de soma de uma série geométrica infinita.
Passo 2
Observando o termo geral , vemos que é uma progressão geométrica de razão . O primeiro termo, para , é .
Passo 3
O teste de convergência para série geométrica diz que ela converge se e somente se . Como , temos . Logo, a série converge.
Passo 4
A soma de uma série geométrica infinita com |r|<1 é dada por S=a1-r. Substituindo a=l(tfracepir)^4 e r=tfracepi, obtemos