Expresse o número decimal periódico como uma série e ache o número racional que ela representa:
2,31777 …

Passo 1

Estamos com o número decimal periódico 2,31777… e queremos escrevê-lo como uma série infinita e depois achar o racional que ele representa. Para isso vamos usar a idéia de dividir a parte não periódica da parte periódica e aplicar soma de série geométrica.

Passo 2

Separamos o número em duas partes: a não periódica 2,31 e a periódica 0,007777… . Ou seja,
2,31777dots = 2,31 + 0,007777dots

Passo 3

A parte periódica 0,007777… pode ser vista como a série infinita
0,007777dots = sumn=1^infty 7cdot10^-(n+2)
pois o primeiro termo corresponde a 7·10⁻³ e a cada termo a potência de 10 diminui mais um fator (razão 1/10).

Passo 4

Para somar a série geométrica usamos a fórmula sumn=1^infty ar^n-1=a/(1-r). Aqui o nosso primeiro termo é a=7cdot10^-3 e a razão é r=10^-1. Logo,
0,007777dots=7cdot10^-31-10^-1=7/10001-1/10=7/10009/10=7900

Passo 5

Então o número original vale
2,31777dots = 2,31 + 7900
Convertendo 2,31 em fração temos 2,31=231/100. Com denominador comum 900:
231100+7900=231cdot9900+7900=2079+7900=2086900

Passo 6

Bastou simplificar a fração 2086/900. Dividindo numerador e denominador por 2 encontramos
2086900=1043450

Resposta

1043450

Exercícios relacionados