Expresse o número decimal periódico como uma série e ache o número racional que ela representa:
2,31777 …
2,31777 …
Passo 1
Estamos com o número decimal periódico 2,31777… e queremos escrevê-lo como uma série infinita e depois achar o racional que ele representa. Para isso vamos usar a idéia de dividir a parte não periódica da parte periódica e aplicar soma de série geométrica.
Passo 2
Separamos o número em duas partes: a não periódica 2,31 e a periódica 0,007777… . Ou seja,
Passo 3
A parte periódica 0,007777… pode ser vista como a série infinita
pois o primeiro termo corresponde a 7·10⁻³ e a cada termo a potência de 10 diminui mais um fator (razão 1/10).
Passo 4
Para somar a série geométrica usamos a fórmula
. Aqui o nosso primeiro termo é
e a razão é
. Logo,
Passo 5
Então o número original vale
Convertendo 2,31 em fração temos
. Com denominador comum 900:
Passo 6
Bastou simplificar a fração
. Dividindo numerador e denominador por 2 encontramos