Uma bola é atirada do chão para o ar. Quando ela atinge uma altura de 9,0 m, a velocidade é dada pelo vetor v=6 i+3 j em m / s.
(a) Qual o módulo da velocidade da bola na altura máxima atingida por ela?
(b) Qual será a altura máxima da bola em relação ao solo?
© Qual foi a velocidade de lançamento da bola?
(d) Qual o tempo total que a bola passa no ar?
(e) Qual são as componentes x e y da velocidade da bola no instante em que ela toca o chão?
(f) Qual o módulo da velocidade da bola no instante em que ela toca o chão?
(g) Qual a distância horizontal total percorrida pela bola?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma bola que é lançada do chão e alcança uma altura de 9,0 metros. Naquele ponto, a velocidade da bola é representada pelo vetor v=6 i+3 j em metros por segundo. Vamos usar conceitos de cinemática, como movimento vertical e horizontal, além de vetores para resolver as questões. Precisaremos entender como calcular módulo de vetores, altura máxima, velocidade de lançamento, tempo de voo, componentes da velocidade ao tocar o chão, módulo da velocidade no instante do toque e distância horizontal total percorrida.

Passo 2

Parte (a): Qual o módulo da velocidade da bola na altura máxima atingida por ela?
Primeiro, sabemos que na altura máxima, a velocidade vertical da bola é zero, pois ela para de subir e começa a descer. A velocidade dada no enunciado na altura de 9 metros é v=6 i+3 j. A componente j representa a parte vertical da velocidade. Para achar o módulo na altura máxima, precisamos considerar que apenas a componente horizontal ( i) permanece, já que a componente vertical é zero.
Então, o módulo da velocidade na altura máxima é apenas a componente horizontal:
|v| = raiz6^2 = 6 , m/s

Passo 3

Parte (b): Qual será a altura máxima da bola em relação ao solo?
Sabemos que a bola atinge 9 metros com uma velocidade vertical de 3 m/s. Para encontrar a altura máxima, onde a velocidade vertical será zero, usamos a equação da cinemática:
vy^2 = v0y^2 - 2g h
Na altura máxima, vy = 0, e g = 9,8 , m/s^2. Substituindo:
0 = 3^2 - 2 times 9,8 times h
9 = 19,6 times h
h = 919,6 approx 0,46 , m
Então, a altura máxima em relação ao ponto de 9 metros é aproximadamente 0,46 metros. Portanto, a altura total máxima é:
9,0 + 0,46 = 9,46 , m

Passo 4

Parte ©: Qual foi a velocidade de lançamento da bola?
Vamos considerar o lançamento. A velocidade na altura de 9 metros é v=6 i+3 j. A componente vertical da velocidade no lançamento pode ser encontrada usando a equação da cinemática vertical:
vy^2 = v0y^2 - 2g h
Sabemos que na altura de 9 metros, vy = 3 , m/s e h = 9 , m:
3^2 = v0y^2 - 2 times 9,8 times 9
9 = v0y^2 - 176,4
v0y^2 = 185,4
v0y = raiz185,4 approx 13,6 , m/s
A componente horizontal é constante, portanto, a velocidade de lançamento é:
v0 = 6 i + 13,6 j , m/s

Passo 5

Parte (d): Qual o tempo total que a bola passa no ar?
Vamos calcular o tempo de subida e o tempo de descida. O tempo de subida até a altura máxima (onde vy = 0):
vy = v0y - g t
0 = 13,6 - 9,8 t
tsubida = 13,69,8 approx 1,39 , s
O tempo total no ar será o dobro desse valor (tempo de subida + tempo de descida):
ttotal = 2 times 1,39 approx 2,78 , s

Passo 6

Parte (e): Quais são as componentes x e y da velocidade da bola no instante em que ela toca o chão?
No instante em que a bola toca o chão, a componente horizontal da velocidade permanece a mesma:
vx = 6 , m/s
A componente vertical no instante de toque no chão é igual e oposta à velocidade de lançamento (por simetria):
vy = -13,6 , m/s
Então, as componentes são:
v = 6 i - 13,6 j , m/s

Passo 7

Parte (f): Qual o módulo da velocidade da bola no instante em que ela toca o chão?
Usando a componente horizontal e vertical:
|v| = raizvx^2 + vy^2
|v| = raiz6^2 + (-13,6)^2
|v| = raiz36 + 184,96 = raiz220,96 approx 14,87 , m/s

Passo 8

Parte (g): Qual a distância horizontal total percorrida pela bola?
A distância horizontal (alcance) é a componente horizontal da velocidade multiplicada pelo tempo total no ar:
d = vx times ttotal
d = 6 times 2,78 approx 16,68 , m

Resposta

(a) O módulo da velocidade na altura máxima é 6 m/s.
(b) A altura máxima da bola em relação ao solo é aproximadamente 9,46 metros.
© A velocidade de lançamento da bola é v0 = 6 i + 13,6 j , m/s.
(d) O tempo total que a bola passa no ar é aproximadamente 2,78 segundos.
(e) As componentes da velocidade ao tocar o chão são vx = 6 , m/s e vy = -13,6 , m/s.
(f) O módulo da velocidade no instante em que a bola toca o chão é aproximadamente 14,87 m/s.
(g) A distância horizontal total percorrida pela bola é aproximadamente 16,68 metros.

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