Uma bola é atirada do chão para o ar. Quando ela atinge uma altura de 9,0
, a velocidade é dada pelo vetor
em
.
(a) Qual o módulo da velocidade da bola na altura máxima atingida por ela?
(b) Qual será a altura máxima da bola em relação ao solo?
© Qual foi a velocidade de lançamento da bola?
(d) Qual o tempo total que a bola passa no ar?
(e) Qual são as componentes
e
da velocidade da bola no instante em que ela toca o chão?
(f) Qual o módulo da velocidade da bola no instante em que ela toca o chão?
(g) Qual a distância horizontal total percorrida pela bola?
(a) Qual o módulo da velocidade da bola na altura máxima atingida por ela?
(b) Qual será a altura máxima da bola em relação ao solo?
© Qual foi a velocidade de lançamento da bola?
(d) Qual o tempo total que a bola passa no ar?
(e) Qual são as componentes
(f) Qual o módulo da velocidade da bola no instante em que ela toca o chão?
(g) Qual a distância horizontal total percorrida pela bola?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma bola que é lançada do chão e alcança uma altura de 9,0 metros. Naquele ponto, a velocidade da bola é representada pelo vetor
em metros por segundo. Vamos usar conceitos de cinemática, como movimento vertical e horizontal, além de vetores para resolver as questões. Precisaremos entender como calcular módulo de vetores, altura máxima, velocidade de lançamento, tempo de voo, componentes da velocidade ao tocar o chão, módulo da velocidade no instante do toque e distância horizontal total percorrida.
Passo 2
Parte (a): Qual o módulo da velocidade da bola na altura máxima atingida por ela?
Primeiro, sabemos que na altura máxima, a velocidade vertical da bola é zero, pois ela para de subir e começa a descer. A velocidade dada no enunciado na altura de 9 metros é
. A componente
representa a parte vertical da velocidade. Para achar o módulo na altura máxima, precisamos considerar que apenas a componente horizontal (
) permanece, já que a componente vertical é zero.
Então, o módulo da velocidade na altura máxima é apenas a componente horizontal:
Passo 3
Parte (b): Qual será a altura máxima da bola em relação ao solo?
Sabemos que a bola atinge 9 metros com uma velocidade vertical de 3 m/s. Para encontrar a altura máxima, onde a velocidade vertical será zero, usamos a equação da cinemática:
Na altura máxima,
, e
. Substituindo:
Então, a altura máxima em relação ao ponto de 9 metros é aproximadamente 0,46 metros. Portanto, a altura total máxima é:
Passo 4
Parte ©: Qual foi a velocidade de lançamento da bola?
Vamos considerar o lançamento. A velocidade na altura de 9 metros é
. A componente vertical da velocidade no lançamento pode ser encontrada usando a equação da cinemática vertical:
Sabemos que na altura de 9 metros,
e
:
A componente horizontal é constante, portanto, a velocidade de lançamento é:
Passo 5
Parte (d): Qual o tempo total que a bola passa no ar?
Vamos calcular o tempo de subida e o tempo de descida. O tempo de subida até a altura máxima (onde
):
O tempo total no ar será o dobro desse valor (tempo de subida + tempo de descida):
Passo 6
Parte (e): Quais são as componentes
e
da velocidade da bola no instante em que ela toca o chão?
No instante em que a bola toca o chão, a componente horizontal da velocidade permanece a mesma:
A componente vertical no instante de toque no chão é igual e oposta à velocidade de lançamento (por simetria):
Então, as componentes são:
Passo 7
Parte (f): Qual o módulo da velocidade da bola no instante em que ela toca o chão?
Usando a componente horizontal e vertical:
Passo 8
Parte (g): Qual a distância horizontal total percorrida pela bola?
A distância horizontal (alcance) é a componente horizontal da velocidade multiplicada pelo tempo total no ar:
Resposta
(a) O módulo da velocidade na altura máxima é 6 m/s.
(b) A altura máxima da bola em relação ao solo é aproximadamente 9,46 metros.
© A velocidade de lançamento da bola é
.
(d) O tempo total que a bola passa no ar é aproximadamente 2,78 segundos.
(e) As componentes da velocidade ao tocar o chão são
e
.
(f) O módulo da velocidade no instante em que a bola toca o chão é aproximadamente 14,87 m/s.
(g) A distância horizontal total percorrida pela bola é aproximadamente 16,68 metros.