Uma bola é atirada no ar com velocidade de 10 m/s e sua altura após t segundos é dada por y = 10t - 5t^2. Encontre a velocidade média para o período de tempo que começa quando t = 1 s e dura:
a) 0,5 s
b) 0,01 s
c) 0,001 s
d) h s, com h tendendo a 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma bola foi lançada para cima com uma velocidade inicial de , e a altura dela após t segundos é dada por . A gente precisa calcular a velocidade média da bola em diferentes períodos que começam em e duram:
a) 0,5 s
b) 0,01 s
c) 0,001 s
d) um intervalo h que tende a zero.
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da velocidade média, que é a variação da posição dividida pelo intervalo de tempo. Além disso, vamos lembrar que a derivada da posição em relação ao tempo nos dá a velocidade instantânea.

Passo 2

Parte a) 0,5 segundos
Primeiro, vamos calcular a posição da bola em :
Agora, calculamos a posição em :
A variação da posição é:
O intervalo de tempo é 0,5 s, então a velocidade média é:
é

Passo 3

Parte b) 0,01 segundos
Calculamos a posição em :
E em :
A variação da posição é:
O intervalo de tempo é 0,01 s, então a velocidade média é:
é

Passo 4

Parte c) 0,001 segundos
Posição em :
Em :
Variação da posição:
Intervalo de tempo: 0,001 s.
é

Passo 5

Parte d) h tendendo a 0 segundos
Aqui, estamos querendo encontrar a velocidade instantânea no instante . Isso é feito levando o limite da velocidade média quando h tende a zero:
â
Usando a função , derivamos em relação a t:
Então, em :
â

Resposta

a) A velocidade média é .
b) A velocidade média é .
c) A velocidade média é .
d) A velocidade instantânea em é .

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