Verifique se a função dada é contínua. Justifique a sua resposta:
Passo 1
Vamos verificar se a função
é contínua. A matéria envolvida aqui é o estudo de continuidade de funções, que faz parte do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e identificar onde a função pode ter problemas de continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
- A função está definida naquele ponto.
- O limite da função quando
se aproxima desse ponto existe. - O limite da função é igual ao valor da função naquele ponto.
Passo 3
Vamos analisar a função
. O denominador
representa o valor absoluto de
, que nunca é negativo. No entanto, se
, o denominador se torna zero, o que significa que a função não está definida nesse ponto. Portanto, a função não atende à primeira condição de continuidade em
.
Passo 4
Mesmo para outros valores de
diferentes de 1, a função está bem definida, pois
nunca será zero. Portanto, a função é contínua em todos os pontos onde está definida, ou seja, para todo
diferente de 1.
Passo 5
Como a função não está definida em
, ela apresenta uma descontinuidade nesse ponto. Isso significa que a função não é contínua em todo o seu domínio, apenas é contínua em
.
Resposta
A função
não é contínua em
porque não está definida nesse ponto. Portanto, a função não é contínua em todo o seu domínio.