Uma bola é atirada no ar com velocidade de 10 m / s. Sua altura em metros após t segundos é dada por y=10 t-4,9 t^2.
(a) Encontre a velocidade média para o período de tempo que começa quando t=1,5 e dura
(i) 0,01 s.
(ii) 0,05 s,
(iii) 0,1 s,
(iv) 0,5 s.
(b) Estime a velocidade instantánea quando t=1,5.

Passo 1

O enunciado dá a altura de uma bola em função do tempo
y(t)=10,t-4,9,t^2
e pede (a) as velocidades médias
vméd=y(t+De<a t)-y(t)De<a té
para t=1,5 s e De<a t=0,01, 0,05, 0,1 e 0,5 s; e (b) estimar a velocidade instantânea em t=1,5 s usando o limite das velocidades médias.

Passo 2

A fórmula da velocidade média é
vméd=y(1,5+De<a t)-y(1,5)De<a t é
Primeiro calculamos
y(1,5)=10cdot1,5-4,9cdot(1,5)^2=15-4,9cdot2,25=15-11,025=3,975 m

Passo 3

Para De<a t=0,01 s temos t2=1,51 s e
y(1,51)=10cdot1,51-4,9cdot(1,51)^2 =15,1-4,9cdot2,2801 =15,1-11,17249 =3,92751 m
Logo
vméd=3,92751-3,9750,01=-0,047490,01=-4,749 m/s é

Passo 4

Para De<a t=0,05 s temos t2=1,55 s e
y(1,55)=10cdot1,55-4,9cdot(1,55)^2 =15,5-4,9cdot2,4025 =15,5-11,77225 =3,72775 m
Logo
vméd=3,72775-3,9750,05 =-0,247250,05=-4,945 m/s é

Passo 5

Para De<a t=0,1 s temos t2=1,6 s e
y(1,6)=10cdot1,6-4,9cdot(1,6)^2 =16-4,9cdot2,56 =16-12,544 =3,456 m
Logo
vméd=3,456-3,9750,1 =-0,5190,1=-5,19 m/s é

Passo 6

Para De<a t=0,5 s temos t2=2,0 s e
y(2,0)=10cdot2,0-4,9cdot(2,0)^2 =20-4,9cdot4 =20-19,6 =0,4 m
Logo
vméd=0,4-3,9750,5 =-3,5750,5=-7,15 m/s é

Passo 7

Para estimar a velocidade instantânea aplicamos o limite
v(1,5)=limDe<a tto0y(1,5+De<a t)-y(1,5)De<a t
ou usamos diretamente a derivada
y'(t)=10-9,8,tLongrightarrow y'(1,5)=10-9,8cdot1,5=10-14,7=-4,7 m/s
Os valores de vmédé convergem para -4,7 m/s quando De<a t é pequeno.

Resposta

(a)
(i) -4,749 m/s
(ii) -4,945 m/s
(iii) -5,19 m/s
(iv) -7,15 m/s
(b) A estimativa da velocidade instantânea em t=1,5 s é -4,7 m/s.

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