Determine a equação do plano tangente e da reta normal à supaerfície f(x, y)=raiz12-34 x^2-3 y^2 no ponto P(2,1, raiz6).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal à superfície
z = f(x,y) = raiz12 - tfrac34x^2 - 3y^2
no ponto P(2,1,raiz6). O conteúdo necessário inclui derivadas parciais para obter o gradiente e depois usar a fórmula do plano tangente
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
e a definição de reta normal a partir do vetor normal ao plano.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=l(12 - tfrac34x^2 - 3y^2r)^1/2
Chamando
g(x,y)=12 - tfrac34x^2 - 3y^2,
temos
fx(x,y) =12,raizg(x,y)cdot gx(x,y) =12raizg(x,y)l(-tfrac32xr) =-3x4raizg(x,y),
fy(x,y) =12,raizg(x,y)cdot gy(x,y) =12raizg(x,y)l(-6yr) =-3yraizg(x,y)

Passo 3

Avaliar em (x0,y0)=(2,1). Primeiro
g(2,1)=12-tfrac34cdot 2^2-3cdot1^2 =12-3-3=6, raizg(2,1)=raiz6
Logo
fx(2,1)=-3cdot 24raiz6=-64raiz6=-raiz64,
fy(2,1)=-3cdot 1raiz6=-3raiz6=-raiz62

Passo 4

Escrever o plano tangente em P(2,1,raiz6) pela fórmula
z - z0 = fx(2,1),(x-2) + fy(2,1),(y-1)
Substituindo
z - raiz6 = -raiz64,(x-2) -raiz62,(y-1)

Passo 5

O vetor normal ao plano é
N = l(-fx(2,1),,-fy(2,1),,1r) =l(tfracraiz64,,tfracraiz62,,1r)
A reta normal em P tem equações paramétricas
x = 2 + raiz64,t, y = 1 + raiz62,t, z = raiz6 + t

Resposta

Plano tangente:
z - raiz6 = -raiz64,(x-2) -raiz62,(y-1)
Reta normal:
x = 2 + dfracraiz64,t, y = 1 + dfracraiz62,t, z = raiz6 + t

Exercícios relacionados