Considere a função f: R^3 R, definida por w=f(x, y, z)=x y+x z+y z.
a) Determine d w;
b) Se (x, y, z) varia de (-1,2,3) para (-0,98 ; 1,99 ; 3,03), calcule d w.

Passo 1

O enunciado dá a função
w = f(x,y,z) = x,y + x,z + y,z
definida em R^3 e pede:
a) a diferencial total d w;
b) o valor aproximado de d w quando (x,y,z) varia de (-1,2,3) para (-0,98,,1,99,,3,03).

Passo 2

Para achar a diferencial total usamos as derivadas parciais de w. Calculamos:
partial wpartial x = y + z,
partial wpartial y = x + z,
partial wpartial z = x + y
Logo, em forma de diferencial total,
d w = (y+z),dx + (x+z),dy + (x+y),dz

Passo 3

Agora, para o item (b), computamos os incrementos
dx = -0,98 - (-1) = 0,02,
dy = 1,99 - 2 = -0,01,
dz = 3,03 - 3 = 0,03

Passo 4

Aproximamos d w avaliando os coeficientes em (x,y,z)=(-1,2,3). Assim,
y+z = 2 + 3 = 5,
x+z = -1 + 3 = 2,
x+y = -1 + 2 = 1

Passo 5

Substituindo em
d w = 5cdot(0,02) + 2cdot(-0,01) + 1cdot(0,03)
obtém-se
d w = 0,10 - 0,02 + 0,03 = 0,11

Resposta

a) d w = (y+z),dx + (x+z),dy + (x+y),dz
b) d w approx 0,11

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