Suponha que C(x)=200+5 x+\frac{1}{50} x^{2} represente o custo total da fabricação diária de x brinquedos em uma determinada fábrica. A produção diária, nesse momento, é de 100 brinquedos.
(a) Determine a função custo marginal.
(b) Determine o custo marginal quando são produzidos 100 brinquedos.
(c) Use o item (b) para determinar como o custo total de produção é afetado se o número de brinquedos produzidos diariamente pela fábrica aumentar de 100 para 101.

Passo 1

O enunciado dá a função de custo total diário \r
C(x)=200+5x+\tfrac{1}{50}x^{2}, \r
onde x é o número de brinquedos produzidos por dia, e informa que x=100. Pede-se \r
(a) a função custo marginal, isto é, a derivada de C; \r
(b) o valor dessa derivada em x=100; \r
(c) usar esse valor para estimar como o custo muda ao passar de 100 para 101 brinquedos. Para resolver, vamos aplicar noções de derivada de polinômio e interpretação de diferencial.

Passo 2

Derivamos termo a termo: a constante some, a derivada de 5x é 5 e a de \tfrac{1}{50}x^{2} é \tfrac{2}{50}x=\tfrac{x}{25}. Logo a função custo marginal é \r
C'(x)=5+\frac{x}{25}.

Passo 3

Para x=100, substituímos na fórmula: \r
C'(100)=5+\frac{100}{25}=5+4=9.

Passo 4

O valor C'(100)=9 significa que, quando a produção está em 100 brinquedos diários, produzir mais uma unidade (ou seja, passar para 101) aumenta o custo em aproximadamente 9 unidades monetárias.

Resposta

(a) C'(x)=5+\tfrac{x}{25}. \r
(b) C'(100)=9. \r
(c) O custo total aumenta em aproximadamente 9 unidades monetárias ao ir de 100 para 101 brinquedos diários.

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