Uma bola de beisebol deixa o bastão do rebatedor com uma velocidade inicial de v_{0}=37 \mathrm{~m} / \mathrm{s} com um ângulo inicial \theta_{0}= 53,1^{\circ} em um local onde g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 2. a) Ache a posição da bola e o módulo, a direção e o sentido de sua velocidade para t=2,0 \mathrm{~s}. b) Cálculo o tempo que a bola leva para atingir a altura máxima de sua trajetória a ache a altura h desse ponto. c) Ache o alcance máximo horizontal, ou seja, a distância entre o ponto inicial e o ponto onde a bola atinge o solo.

Passo 1

O enunciado trata de um movimento de projétil (bola de beisebol) lançado com velocidade inicial \,v_{0}=37\\ \mathrm{m/s} e ângulo \theta_{0}=53,1^{\circ}, sob aceleração da gravidade g=9,8\\ \mathrm{m/s}^{2}. Para caracterizar a trajetória usaremos as fórmulas conhecidas de cinemática em duas dimensões sem resistência do ar: decompor v_{0} em componentes horizontais e verticais, escrever
x(t)=v_{0x}\,t,\quad y(t)=v_{0y}\,t-\tfrac12\,g\,t^{2},
e as velocidades em cada direção
v_{x}(t)=v_{0x},\quad v_{y}(t)=v_{0y}-g\,t,
calculando em seguida o módulo \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}, o ângulo \arctan(v_{y}/v_{x}) e o sentido a partir dos sinais de v_{x} e v_{y}. Também usaremos t_{\text{max}}=v_{0y}/g para altura máxima e R=2\,v_{0x}\,t_{\text{max}} para alcance horizontal.

Passo 2

Decompomos a velocidade inicial em
v_{0x}=v_{0}\cos\theta_{0}=37\cos(53,1^\circ)=37\cdot0{,}6=22{,}2\\ \mathrm{m/s},
v_{0y}=v_{0}\sin\theta_{0}=37\sin(53,1^\circ)=37\cdot0{,}8=29{,}6\\ \mathrm{m/s},
onde usamos \cos(53,1^\circ)=0{,}6 e \sin(53,1^\circ)=0{,}8.

Passo 3

Para t=2{,}0\\ \mathrm{s} temos
x(2)=v_{0x}\cdot2=22{,}2\times2=44{,}4\\ \mathrm{m},
y(2)=v_{0y}\cdot2-\tfrac12\,g\cdot2^{2} =29{,}6\times2-0{,}5\times9{,}8\times4 =59{,}2-19{,}6=39{,}6\\ \mathrm{m}.
As componentes da velocidade são
v_{x}(2)=22{,}2\\ \mathrm{m/s},\quad v_{y}(2)=29{,}6-9{,}8\times2=10{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Logo o módulo é
\sqrt{22{,}2^{2}+10^{2}} =\sqrt{492{,}84+100} \approx24{,}4\\ \mathrm{m/s},
o ângulo em relação ao eixo horizontal é
\alpha=\arctan\!\bigl(\tfrac{10{,}0}{22{,}2}\bigr)\approx23{,}9^\circ,
e como v_{x}>0 e v_{y}>0, a velocidade aponta para cima e para a direita.

Passo 4

O tempo para atingir a altura máxima ocorre quando v_{y}=0, isto é,
t_{\text{max}}=\frac{v_{0y}}{g}=\frac{29{,}6}{9{,}8}\approx3{,}02\\ \mathrm{s}.
A altura máxima h é
h=y(t_{\text{max}}) =\frac{v_{0y}^{2}}{2\,g} =\frac{29{,}6^{2}}{2\times9{,}8} =\frac{876{,}16}{19{,}6} \approx44{,}7\\ \mathrm{m}.

Passo 5

O alcance horizontal R (distância até o solo) vale
R=2\,v_{0x}\,t_{\text{max}} =2\times22{,}2\times3{,}02 \approx134{,}0\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) Em t=2{,}0\\ \mathrm{s} a posição é (x,y)=(44{,}4\\ \mathrm{m},\,39{,}6\\ \mathrm{m}). A velocidade tem módulo 24{,}4\\ \mathrm{m/s}, direção \alpha\approx23{,}9^\circ acima da horizontal e sentido para cima e para a direita.
(b) O tempo até o ponto mais alto é t_{\text{max}}\approx3{,}02\\ \mathrm{s} e a altura máxima é h\approx44{,}7\\ \mathrm{m}.
(c) O alcance horizontal máximo é R\approx134{,}0\\ \mathrm{m}.

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