Uma bola de beisebol deixa o bastão do rebatedor com uma velocidade inicial de v_{0}=37 \mathrm{~m} / \mathrm{s} com um ângulo inicial \theta_{0}= 53,1^{\circ} em um local onde g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 2. a) Ache a posição da bola e o módulo, a direção e o sentido de sua velocidade para t=2,0 \mathrm{~s}. b) Cálculo o tempo que a bola leva para atingir a altura máxima de sua trajetória a ache a altura h desse ponto. c) Ache o alcance máximo horizontal, ou seja, a distância entre o ponto inicial e o ponto onde a bola atinge o solo.

Passo 1

O enunciado trata do lançamento oblíquo de uma bola com velocidade inicial \,v_{0}=37\,\mathrm{m/s} e ângulo \,\theta_{0}=53,1^\circ sob gravidade \,g=9,8\,\mathrm{m/s^2}. Vamos usar:
– Decomposição da velocidade inicial em componentes horizontal e vertical.
– Equações paramétricas do movimento:
x(t)=v_{0x}\,t,
y(t)=v_{0y}\,t-\tfrac12\,g\,t^2.
– Derivadas para a velocidade em qualquer instante e fórmulas padrão de alcance e altura máxima.

Passo 2

Decompondo \,v_0:
v_{0x}=v_0\cos\theta_0=37\cos(53,1^\circ)\approx37\cdot0,6=22,2\,\mathrm{m/s},
v_{0y}=v_0\sin\theta_0=37\sin(53,1^\circ)\approx37\cdot0,8=29,6\,\mathrm{m/s}.

Passo 3

(a) Em t=2{,}0\,\mathrm{s},
x(2)=22,2\cdot2=44,4\,\mathrm{m},
y(2)=29,6\cdot2-\tfrac12\cdot9,8\cdot(2)^2=59,2-19,6=39,6\,\mathrm{m}.
A velocidade tem componentes
v_x(t)=v_{0x}=22,2\,\mathrm{m/s},
v_y(t)=v_{0y}-g\,t=29,6-9,8\cdot2=10,0\,\mathrm{m/s}.
O módulo e direção são
v(2)=\sqrt{22{,}2^2+10{,}0^2}\approx\sqrt{492{,}8+100}=24,3\,\mathrm{m/s},
\alpha=\arctan\bigl(\tfrac{v_y}{v_x}\bigr)=\arctan\bigl(\tfrac{10,0}{22,2}\bigr)\approx24,3^\circ,
isto é, o vetor velocidade aponta para cima e à direita com ângulo 24,3^\circ acima do eixo horizontal.

Passo 4

(b) O tempo para altura máxima vem de v_y=0:
t_h=\frac{v_{0y}}{g}=\frac{29,6}{9,8}\approx3,02\,\mathrm{s}.
A altura máxima é
h=y(t_h)=v_{0y}t_h-\tfrac12\,g\,t_h^2 =\frac{v_{0y}^2}{2g}=\frac{29{,}6^2}{2\cdot9,8}\approx44,7\,\mathrm{m}.

Passo 5

(c) O alcance horizontal usa o tempo total de voo T=2t_h\approx6,04\,\mathrm{s}:
R=v_{0x}\,T=22,2\cdot6,04\approx134,1\,\mathrm{m}.

Resposta

(a) \,x(2)=44,4\,\mathrm{m},\;y(2)=39,6\,\mathrm{m}. Velocidade \,v=24,3\,\mathrm{m/s} dirigindo-se a 24,3^\circ acima da horizontal (para cima e à direita).
(b) t_h=3,02\,\mathrm{s}, h=44,7\,\mathrm{m}.
(c) Alcance R=134,1\,\mathrm{m}.

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