(5,0 Pontos) Dada as equações de Maxwell no vácuo e com os campos descritos pelas equações abaixo:
\begin{aligned} \vec{E} & =E(x, t) \hat{y} \\\ \vec{B} & =B(x, t) \hat{z} \end{aligned}
Demonstre que o Campo Elétrico deve descrever uma função de onda.
Dado: Uma função onda F(x, t) deve seguir a equação:
\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}-\frac{1}{v^{2}}=\frac{\partial^{2} F}{\partial t^{2}}
(5,0 Pontos) Compare a equação da onda do campo elétrico com a equação geral da onda escrita a cima. Qual é a expressão da velocidade da luz? Calcule a velocidade da luz com essa expressão.
\begin{array}{r} \varepsilon_{0}=8,854 \times 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m} \\\ \mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~N} / \mathrm{A}^{2} \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em vácuo, o campo elétrico \vec{E}(x,t)=E(x,t)\,\hat{y} satisfaz uma equação de onda unidimensional e, em seguida, comparar essa equação com
\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{2}} \;-\;\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}F}{\partial t^{2}} \;=\;0
para extrair a expressão de v (velocidade de propagação) e calcular numericamente essa velocidade usando \varepsilon_{0} e \mu_{0}.
Para isso vamos usar as equações de Maxwell em vácuo:
\begin{aligned} \nabla \times \vec{E} &= -\,\frac{\partial \vec{B}}{\partial t},\\\ \nabla \times \vec{B} &= \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t},\\\ \nabla\!\cdot\!\vec{E} &= 0,\quad \nabla\!\cdot\!\vec{B} = 0. \end{aligned}

Passo 2

Aplicamos \nabla\times em \nabla\times\vec{E}. De um lado, pela identidade vetorial, temos
\nabla\times(\nabla\times\vec{E}) =\nabla\bigl(\nabla\!\cdot\!\vec{E}\bigr)-\nabla^{2}\vec{E} =-\nabla^{2}\vec{E},
já que \nabla\!\cdot\!\vec{E}=0.
Do outro lado, usando \nabla\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t, obtemos
\nabla\times(\nabla\times\vec{E}) =-\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times\vec{B}\bigr) =-\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\bigr) =-\,\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}.
Igualando as duas expressões, surge
-\nabla^{2}\vec{E} =-\,\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \nabla^{2}\vec{E} =\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}.
Como \vec{E} depende só de x e está na direção \hat{y}, isso reduz-se a
\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}} =\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}},
que é uma equação de onda.

Passo 3

Comparando
\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}} -\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}} =0
com
\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}} =\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}},
vemos que
\mu_{0}\varepsilon_{0} \;=\;\frac{1}{v^{2}} \quad\Longrightarrow\quad v \;=\;\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}}}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m} e \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{N/A^{2}},
temos
v =\frac{1}{\sqrt{(4\pi\times10^{-7})(8{,}854\times10^{-12})}} \approx 2,998\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.

Resposta

O campo elétrico satisfaz a equação de onda
\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}} -\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}} =0,
e a velocidade de propagação é
c \;=\;\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}}} \approx 3{,}0\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.

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