Uma bola de bilhar de massa M e raio R(I=25 MR^2) desliza sem rodar com velocidade v0 sobre uma mesa sem atrito. Subitamente ela encontra uma parte da mesa com atrito e depois de algum tempo está rodando sem deslizar.
Calcule a velocidade final da bola;

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que rolou: temos uma bola de bilhar de massa e raio (com momento de inércia ). Ela chega deslizando sem girar com velocidade inicial numa parte da mesa sem atrito, e aí cai num trecho com atrito até começar a rolar sem deslizar.
Conteúdo: dinâmica de corpo rígido (força de atrito, torque, aceleração angular) e condição de rolamento puro ( ).
O que vamos precisar:
  • Equação de Newton para translação (força de atrito gera desaceleração).
  • Equação de Newton para rotação (torque do atrito gera aceleração angular).
  • Condição de rolamento puro para achar quando para o deslizamento.

Passo 2

Primeiro, identifica a força de atrito cinético a = -fM . Ela age para trás (desacelera a translação) e também gera torque que faz a bola girar.
  • Aceleração de translação: alpha = tauI = f,RI
  • Aceleração angular: v(t) = v0 - fM,t, omega(t) = 0 + f,RI,t
Aí, ao longo do tempo dentro do trecho rugoso, a velocidade linear e a angular vão sendo:

Passo 3

A gente pára de deslizar exatamente quando começa o rolamento puro, ou seja quando
v(t) = omega(t),R
Substituindo as expressões:
v0 - fM,t = l(f,RI,tr) R ;Longrightarrow; v0 = t,fl(1M + R^2Ir)
Aí isolamos o tempo t = v0fl(1M + R^2Ir) :

Passo 4

Agora, a velocidade final vf = v(t) = v0 - fM,t = v0 - fM,v0fl(1M + R^2Ir) é simplesmente
vf = v0[1 - 1M1M + R^2I] = v0,R^2I1M + R^2I = v01 + IM,R^2
Fazendo as contas (cancelando 1 + IMR^2 ;=; 1 + 25 ;=; 75 Longrightarrow vf = v07/5 = 57,v0 e reorganizando):
E como , vem

Resposta

A velocidade final da bola, quando ela passa a rolar sem deslizar, é
boxedvf = 57;v0

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