Uma bola de bilhar de massa M e raio
desliza sem rodar com velocidade
sobre uma mesa sem atrito. Subitamente ela encontra uma parte da mesa com atrito e depois de algum tempo está rodando sem deslizar.
Calcule a velocidade final da bola;
Calcule a velocidade final da bola;
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que rolou: temos uma bola de bilhar de massa
e raio
(com momento de inércia
). Ela chega deslizando sem girar com velocidade inicial
numa parte da mesa sem atrito, e aí cai num trecho com atrito até começar a rolar sem deslizar.
Conteúdo: dinâmica de corpo rígido (força de atrito, torque, aceleração angular) e condição de rolamento puro ( ).
O que vamos precisar:
Conteúdo: dinâmica de corpo rígido (força de atrito, torque, aceleração angular) e condição de rolamento puro (
O que vamos precisar:
- Equação de Newton para translação (força de atrito gera desaceleração).
- Equação de Newton para rotação (torque do atrito gera aceleração angular).
- Condição de rolamento puro para achar quando para o deslizamento.
Passo 2
Primeiro, identifica a força de atrito cinético
. Ela age para trás (desacelera a translação) e também gera torque que faz a bola girar.
- Aceleração de translação:
- Aceleração angular:
Aí, ao longo do tempo
dentro do trecho rugoso, a velocidade linear e a angular vão sendo:
Passo 3
A gente pára de deslizar exatamente quando começa o rolamento puro, ou seja quando
Substituindo as expressões:
Aí isolamos o tempo
:
Passo 4
Agora, a velocidade final
é simplesmente
Fazendo as contas (cancelando
e reorganizando):
E como
, vem
Resposta
A velocidade final da bola, quando ela passa a rolar sem deslizar, é