Uma bola de bilhar de massa M e raio R(I=25 MR^2) desliza sem rodar com velocidade v0 sobre uma mesa sem atrito. Subitamente ela encontra uma parte da mesa com atrito e depois de algum tempo está rodando sem deslizar.
Qual é a energia dissipada no processo?

Passo 1

O enunciado diz que uma bola de bilhar (massa , raio , momento de inércia ) começa deslizando sem rodar com velocidade . Ela entra numa região com atrito e, após um tempo, atinge rolamento puro ( ). Precisamos encontrar quanta energia vira calor (dissipada).
Conteúdo que vamos usar:
  • Energia cinética translacional e rotacional
  • Condição de rolamento sem deslizamento ( )
  • Impulso de atrito para a velocidade e para o giro

Passo 2

Entender o que o atrito faz:
  1. Atrito aplica uma força que desacelera a translação (reduz M,v - M,v0 = -J ).
  2. Atrito também gera um torque que acelera a rotação (faz I,omega - 0 = J,R crescer).
    Até que o corpo atinja .
    Em termos de impulso do atrito:
  • Para a translação:
  • Para a rotação (torque gera ):

Passo 3

Usar a condição de rolamento puro I,omega = J,R Longrightarrow 25MR^2;vR = J,R Longrightarrow J = 25M,v .
Da equação rotacional:
M,v - M,v0 = -J Longrightarrow M,v - M,v0 = -25M,v
Agora a equação de translação:
M,v0 = M,v + 25M,v = 75M,v Longrightarrow v = 57,v0

Passo 4

Calcular energias:
  • Inicial: Ei = 12 M v0^2
  • Final: soma translacional + rotacional (com Ef = 12 Ml(57v0r)^2 + 12 Il(vRr)^2 = 12 M2549v0^2 + 1225MR^22549v0^2R^2 = 2598Mv0^2 + 549Mv0^2 = 514M v0^2 ): De
Energia dissipada = :

Resposta

A energia dissipada no processo é
boxedDe

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