Niels Bohr postulou que um sistema mecânico em rotação só pode ter momentum angular com valores múltiplos de uma constante
, chamada constante de Planck
), ou seja:
, sendo n um inteiro positivo ou zero.
Mostre que com este postulado, a energia de um rotor só pode adquirir valores discretos, isto é, quantizados.
Mostre que com este postulado, a energia de um rotor só pode adquirir valores discretos, isto é, quantizados.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. O enunciado fala do postulado de Bohr para um rotor (ou seja, um objeto que gira) dizendo que o momento angular só pode ser múltiplo inteiro de
:
Onde
-
-
-
Conteúdo: mecânica de rotação e quantização de momento angular.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- A expressão da energia cinética de rotação,
- A relação
e o postulado de quantização .
Passo 2
Primeiro, lembra que a energia cinética de um corpo em rotação é dada por
Explicando: em translação a gente tem
Passo 3
Como o momento angular vale
, a gente resolve para
:
Agora substitui essa
$$E = \tfrac12,I;\bigl(\tfrac{L}{I}\bigr)^2
= \tfrac12,I;\frac{L2}{I2}
= \frac{L^2}{2,I},. $$
Passo 4
Aí entra o postulado de Bohr:
. Basta colocar isso em
:
Passo 5
Pronto! Perceba que, como
só pode ser inteiro não-negativo, a energia
só assume esses valores “quadrados” discretos. Isso significa que a energia do rotor está quantizada.