Niels Bohr postulou que um sistema mecânico em rotação só pode ter momentum angular com valores múltiplos de uma constante hbar, chamada constante de Planck hbar=h / 2 pi=1.054 times 10^-34 J S ), ou seja: L=I omega=n hbar, sendo n um inteiro positivo ou zero.
Mostre que com este postulado, a energia de um rotor só pode adquirir valores discretos, isto é, quantizados.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. O enunciado fala do postulado de Bohr para um rotor (ou seja, um objeto que gira) dizendo que o momento angular só pode ser múltiplo inteiro de hbar:
L = I,omega = n,hbar(n=0,1,2,dots)
Onde
- I é o momento de inércia do rotor (medida de “resistência” à rotação),
- omega é a velocidade angular,
- hbar é a constante de Planck reduzida.
Conteúdo: mecânica de rotação e quantização de momento angular.
O que vamos precisar:
  1. A expressão da energia cinética de rotação,
  2. A relação L=Iomega e o postulado de quantização L=nhbar.

Passo 2

Primeiro, lembra que a energia cinética de um corpo em rotação é dada por
E = tfrac12,I,omega^2,
Explicando: em translação a gente tem E=tfrac12 m v^2; na rotação o “ m” vira I e o “ v” vira omega,.

Passo 3

Como o momento angular vale L = I,omega, a gente resolve para omega:
omega = LI,
Agora substitui essa omega na energia:
$$E = \tfrac12,I;\bigl(\tfrac{L}{I}\bigr)^2
= \tfrac12,I;\frac{L2}{I2}
= \frac{L^2}{2,I},. $$

Passo 4

Aí entra o postulado de Bohr: L = nhbar. Basta colocar isso em E = L^22I:
En = (nhbar)^22,I = n^2,hbar^22,I,, n=0,1,2,dots

Passo 5

Pronto! Perceba que, como n só pode ser inteiro não-negativo, a energia En só assume esses valores “quadrados” discretos. Isso significa que a energia do rotor está quantizada.

Resposta

En = n^2,hbar^22,I(n=0,1,2,dots)

Exercícios relacionados