Uma bola de bilhar inicialmente em repouso recebe um impulso instantâneo de um taco. Este é mantido horizontal a uma distância h do
centro. A bola sai com velocidade
e a velocidade final é
. Mostre que
, onde
é o raio da esfera.
centro. A bola sai com velocidade
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o problema e ver o que precisamos:
Você tem uma bola de bilhar (esfera) de raio , parado no começo. Um taco bate na bola com um impulso horizontal aplicado a uma altura
acima do centro. Isso dá à bola:
Você tem uma bola de bilhar (esfera) de raio
- Uma velocidade translacional inicial
do centro de massa. - Um giro inicial (velocidade angular)
.
Depois desse impacto, a bola começa deslizando (há deslizamento), a fricção atua, e em certo momento ela atinge o movimento de rotação sem escorregar (rolamento puro). Nesse instante o centro de massa tem uma velocidade final
. O enunciado diz que
E a gente precisa mostrar que
Para isso, vamos usar:
• Conservação de momento linear (para achar e o impulso).
• Conservação de momento angular no instante do impacto (pra achar ).
• Dinâmica de rotação + fricção cinética até rolar sem deslizar.
• Momento de inércia da esfera: .
• Conservação de momento linear (para achar
• Conservação de momento angular no instante do impacto (pra achar
• Dinâmica de rotação + fricção cinética até rolar sem deslizar.
• Momento de inércia da esfera:
Passo 2
Encontrando a velocidade angular inicial
:
Quando o taco dá impulso na bola, ele gera:
Quando o taco dá impulso
- Momento linear:
. - Momento angular em relação ao centro:
.
Como
, temos
Passo 3
Agora a bola está com velocidade de translação
e giro
, mas ainda desliza. A fricção cinética faz:
• Aceleração linear negativa: .
• Aceleração angular positiva: .
• Aceleração linear negativa:
• Aceleração angular positiva:
A gente não vai integrar tempo explicitamente; em vez disso, usa a relação “até rolar sem deslizar” (
) e as variações
,
.
Depois de um tempo ,
Depois de um tempo
E no instante do rolamento puro:
Substituindo
e isolando
(ou usando o método das equações lineares), chega-se a uma fórmula padronizada para esfera que traduz direto em:
Isso é um resultado clássico (vale memorizar para esfera com fricção até rolar).
Passo 4
Agora plugamos
que achamos no Passo 2:
Mas o enunciado diz que
. Então: