Uma bola de bilhar inicialmente em repouso recebe um impulso instantâneo de um taco. Este é mantido horizontal a uma distância h do
centro. A bola sai com velocidade v0 e a velocidade final é 9 / 7 v0. Mostre que h=4 / 5 R, onde R é o raio da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o problema e ver o que precisamos:
Você tem uma bola de bilhar (esfera) de raio vf = 97,v0 , parado no começo. Um taco bate na bola com um impulso horizontal aplicado a uma altura h = 45,R acima do centro. Isso dá à bola:
  1. Uma velocidade translacional inicial do centro de massa.
  2. Um giro inicial (velocidade angular) .
Depois desse impacto, a bola começa deslizando (há deslizamento), a fricção atua, e em certo momento ela atinge o movimento de rotação sem escorregar (rolamento puro). Nesse instante o centro de massa tem uma velocidade final . O enunciado diz que
E a gente precisa mostrar que
Para isso, vamos usar:
• Conservação de momento linear (para achar e o impulso).
• Conservação de momento angular no instante do impacto (pra achar ).
• Dinâmica de rotação + fricção cinética até rolar sem deslizar.
• Momento de inércia da esfera: .

Passo 2

Encontrando a velocidade angular inicial J,h ;=; I,omega0 ;Longrightarrow; m,v0,h ;=;l(tfrac25mR^2r),omega0 ;Longrightarrow; omega0 = m,v0,htfrac25mR^2 = 52,v0,hR^2 :
Quando o taco dá impulso na bola, ele gera:
  1. Momento linear: .
  2. Momento angular em relação ao centro: .
Como , temos

Passo 3

Agora a bola está com velocidade de translação vf = v0 - fm,t, omegaf = omega0 + fRI,t e giro vf = omegaf,R , mas ainda desliza. A fricção cinética faz:
• Aceleração linear negativa: vf = 57,v0 ;+; 27,R,omega0 .
• Aceleração angular positiva: .
A gente não vai integrar tempo explicitamente; em vez disso, usa a relação “até rolar sem deslizar” ( ) e as variações , .
Depois de um tempo ,
E no instante do rolamento puro:
Substituindo e isolando (ou usando o método das equações lineares), chega-se a uma fórmula padronizada para esfera que traduz direto em:
Isso é um resultado clássico (vale memorizar para esfera com fricção até rolar).

Passo 4

Agora plugamos vf = 57,v0 ;+;27,R!!(52,v0,hR^2) = 57,v0 + 57,v0,hR = 57,v0l(1 + hRr) que achamos no Passo 2:
57,v0l(1 + hRr) = 97,v0 Longrightarrow 5l(1 + hRr) = 9 Longrightarrow 1 + hR = 95 Longrightarrow hR = 95 - 1 = 45
Mas o enunciado diz que . Então:

Resposta

boxed,h = 45,R,

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