Uma bola de bilhar de raio a está inicialmente girando em torno de um eixo horizontal com velocidade angular
e com velocidade inicial de translação nula. Se o coeficiente de atrito entre a bola e a mesa é
, ache a distância percorrida pela bola até desaparecer o seu deslizamento.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma bola de bilhar com raio $ a $ que inicialmente está girando com uma velocidade angular $ \omega_0 $ e não está se movendo para frente (velocidade de translação zero). O coeficiente de atrito entre a bola e a mesa é $ \mu $. A missão aqui é descobrir a distância que a bola percorre até parar de deslizar e começar a rolar sem deslizar.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de movimento rotacional, torques, e como o atrito afeta o movimento da bola.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando na bola. Como a bola está apenas girando, há uma força de atrito que vai atuar na direção oposta ao movimento de rotação. Essa força de atrito é responsável por desacelerar a rotação e iniciar a translação.
A força de atrito $ F $ pode ser calculada usando:
Onde $ N $ é a força normal. Como a bola está sobre uma mesa horizontal, $ N = m \cdot g $, onde $ m $ é a massa da bola e $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Agora, vamos analisar os efeitos dessa força de atrito no movimento rotacional. A força de atrito gera um torque $ \tau $ que vai desacelerar a rotação da bola. O torque é dado por:
Esse torque causa uma aceleração angular $ \alpha $, que pode ser encontrada usando a segunda lei de Newton para rotação:
Onde $ I $ é o momento de inércia da bola. Para uma esfera sólida, $ I = \frac{2}{5} m a^2 $. Assim,
Então, a aceleração angular é $ \alpha = \frac{5 \mu g}{2 a} $.
Passo 4
Com a aceleração angular, podemos calcular o tempo $ t $ que a bola leva para parar o deslizamento. A velocidade angular final $ \omega $ quando o deslizamento para é relacionada com a velocidade de translação $ v $ por:
Quando a bola para de deslizar, a velocidade de translação $ v $ é igual à velocidade angular multiplicada pelo raio $ a $.
A desaceleração angular $ \alpha $ está ligada à mudança na velocidade angular:
No ponto em que $ \omega = \frac{v}{a} $, substituindo:
Como inicialmente $ v = 0 $, a velocidade de translação cresce enquanto a angular diminui.
Passo 5
Para achar a distância $ s $ percorrida, precisamos relacionar a velocidade de translação com o tempo. Sabemos que:
A aceleração linear $ a_{lin} $ é:
Integrando a velocidade para encontrar a posição:
Isso simplifica para:
Passo 6
Precisamos determinar o tempo $ t $ quando o deslizamento para. Nesse ponto, a velocidade angular $ \omega $ e a velocidade de translação $ v $ estão relacionadas por $ v = \omega a $.
Usando $ \omega = \omega_0 - \alpha t $:
E sabendo que $ v = \omega a $, igualamos:
Resolvendo para $ t $:
Passo 7
Substituindo o valor de $ t $ na expressão da distância $ s $:
Simplificando:
Resposta
A distância percorrida pela bola até parar o deslizamento é: