Uma garota de massa
corre em uma pista horizontal e pula em cima um skate de massa
inicialmente parado. Com isso, o sistema garota+skate adquire velocidade horizontal em direção a uma rampa e ao subir atinge uma altura máxima de
. Considerando que as forças de atrito e resistência do ar são desprezíveis, determine a velocidade da garota, imediatamente antes de tocar o skate.
Passo 1
Ok, vamos resumir o que a questão tá dizendo e ver o que vamos precisar para resolver. A gente tem uma garota com massa $ M = 42 , kg $ que está correndo numa pista e pula em cima de um skate que tem massa $ m = 1,5 , kg $ e que estava parado. Depois que ela pula, o sistema garota + skate ganha uma velocidade na horizontal e sobe uma rampa até alcançar uma altura máxima de $ h = 0,60 , m $. A gente precisa descobrir qual era a velocidade da garota antes dela pular no skate. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de conservação da energia e conservação do momento linear.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir qual foi a velocidade do sistema garota + skate imediatamente depois que ela pulou no skate. Sabemos que esse sistema sobe até uma altura máxima de $ h = 0,60 , m $. Quando chega nessa altura, toda a energia cinética foi convertida em energia potencial gravitacional.
A energia potencial gravitacional é dada por:
onde $ g = 9,8 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade.
A energia cinética logo após o pulo é:
onde $ v’ $ é a velocidade do sistema garota + skate imediatamente após o pulo.
Como a energia cinética foi convertida em energia potencial:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ (M + m) $:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ v’ $:
Vamos substituir os valores:
Passo 3
Agora que sabemos a velocidade do sistema garota + skate logo após o pulo ($ v’ \approx 3,43 , m/s
v $).
Antes do pulo, a garota tem momento linear $ M \cdot v $ e o skate está parado, então seu momento é zero. Depois do pulo, o momento do sistema garota + skate é $ (M + m) \cdot v’ $.
A conservação do momento linear diz que:
Vamos isolar $ v $:
Substituindo os valores:
Resposta
A velocidade da garota, imediatamente antes de tocar o skate, era aproximadamente $ 3,55 , m/s $.