Duas barras uniformes A B e B C de massas iguais (m) e mesmos comprimentos ( l ) estão levemente ligadas no ponto B. O sistema está inicialmente em repouso sobre uma superfície lisa horizontal, os pontos A, B e C estão alinhados. Se um impulso p é aplicado em A, em ângulo reto com as barras, encontre o movimento inicial do sistema. (Sugestão: isole as barras).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! Temos duas barras uniformes, $ AB $ e $ BC $, com mesma massa $ m $ e comprimento $ l $. Elas estão ligadas no ponto $ B $ e colocadas sobre uma superfície lisa, ou seja, sem atrito. Inicialmente, tudo está parado e os pontos $ A $, $ B $ e $ C $ estão alinhados. Quando aplicamos um impulso $ \hat{\vec{p}} $ no ponto $ A $, em um ângulo reto com as barras, queremos descobrir como o sistema começa a se mover. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de impulso, quantidade de movimento e torque (momento de força).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um impulso. O impulso $ \vec{p} $ é uma força aplicada por um curto intervalo de tempo e está relacionada à mudança na quantidade de movimento do sistema. A quantidade de movimento $ \vec{P} $ de um objeto é dada por $ \vec{P} = m \vec{v} $, onde $ m $ é a massa e $ \vec{v} $ é a velocidade.
Como a superfície é lisa, não há atrito, então todo o impulso que aplicamos vai se converter em movimento do sistema.

Passo 3

Vamos identificar o centro de massa do sistema. Como as duas barras têm a mesma massa e comprimento, o centro de massa $ G $ fica no ponto $ B $, onde as duas barras estão conectadas.
Então, quando aplicamos o impulso no ponto $ A $, ele vai causar tanto uma translação do centro de massa $ G $ quanto uma rotação em torno de $ G $.

Passo 4

Vamos calcular a velocidade do centro de massa após o impulso. A quantidade de movimento total do sistema após o impulso será igual ao impulso aplicado:
P = mtotal vG
Aqui, $ m_{total} = m + m = 2m $ (soma das massas das duas barras) e $ \vec{v}_G $ é a velocidade do centro de massa. Então:
mtotal = m + m = 2m

Passo 5

Agora, vamos calcular o torque gerado pelo impulso em relação ao centro de massa $ G $. O torque $ \tau $ é dado por:
G
Onde $ \vec{r} $ é a distância do ponto de aplicação do impulso até o centro de massa. Como a barra tem comprimento $ l $ e $ G $ está em $ B $, a distância de $ A $ até $ G $ é $ l $.
Então, o torque será:
tau

Passo 6

Com o torque, podemos encontrar a aceleração angular $ \alpha $ do sistema. Para isso, precisamos do momento de inércia $ I $ do sistema em relação ao centro de massa.
Para uma barra de comprimento $ l $ e massa $ m $, o momento de inércia em relação ao centro é:
alpha
Como temos duas barras, o momento de inércia total é:
I
Então, a aceleração angular é:
l

Resposta

Portanto, após o impulso $ \hat{\vec{p}} $ aplicado em $ A $, o sistema começa a se mover com uma velocidade de translação do centro de massa igual a $ \vec{v}_G = \frac{\vec{p}}{2m} $ e uma aceleração angular inicial de $ \alpha = \frac{6 p}{m l} $. Ou seja, o centro de massa se move na direção do impulso enquanto o sistema também começa a girar em torno de $ G $.

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