Uma bola de chumbo é deixada cair de um trampolim localizado a 5 m acima da superfície de um lago. A bola bate na água com uma certa velocidade e a partir daí afunda com essa velocidade constante até o fundo do lago. Ela chegará ao fundo 5 s após ter sido largada. (Adote
).
(a) Qual é a velocidade com que a bola atinge a água e depois, quando atinge a profundidade do lago?
(b) Qual a velocidade média da bola considerando todo o percurso?
(c) Suponha que toda água do lago seja drenada. A bola é atirada do trampolim, e novamente chega ao fundo do lago 5s depois. Qual a velocidade inicial da bola?
(a) Qual é a velocidade com que a bola atinge a água e depois, quando atinge a profundidade do lago?
(b) Qual a velocidade média da bola considerando todo o percurso?
(c) Suponha que toda água do lago seja drenada. A bola é atirada do trampolim, e novamente chega ao fundo do lago 5s depois. Qual a velocidade inicial da bola?
Passo 1
Dados que o enunciado nos fornece e o que ele pede:
- A bola é largada do trampolim localizado a
acima da superfície do lago. - A aceleração gravitacional vale
. - A bola é largada (no item inicial) sem velocidade inicial, isto é, velocidade inicial
na queda livre. - Ao atingir a água, a bola passa a afundar com velocidade constante igual à velocidade com que atingiu a água.
- A bola chega ao fundo do lago
após o instante em que foi largada. Ou seja, tempo total desde a largada até o fundo é .
O enunciado pede:
(a) a velocidade com que a bola atinge a água e a velocidade quando atinge o fundo do lago (após afundar);
(b) a velocidade média da bola considerando todo o percurso (queda + afundamento);
(c) supondo o lago vazio (água drenada), a bola é lançada do mesmo trampolim e chega ao fundo depois — qual é a velocidade inicial de lançamento?
(a) a velocidade com que a bola atinge a água e a velocidade quando atinge o fundo do lago (após afundar);
(b) a velocidade média da bola considerando todo o percurso (queda + afundamento);
(c) supondo o lago vazio (água drenada), a bola é lançada do mesmo trampolim e chega ao fundo
Passo 2
Vamos calcular a velocidade com que a bola atinge a água (impacto) usando as equações do movimento retilíneo uniformemente acelerado. Fórmulas úteis (movimento com aceleração constante):
- Equação da velocidade em função do tempo:
onde é a velocidade no instante , é a velocidade inicial e a aceleração. - Equação da velocidade em função do deslocamento:
onde é o deslocamento ao longo da direção da aceleração.
Aqui usamos a segunda fórmula com
,
e
:
Substituindo
:
logo
Interpretação: a velocidade ao atingir a água tem módulo
e direção para baixo.
Passo 3
Também é útil calcular o tempo de queda até a água (tempo de queda livre). Usando
com
e
:
Como o tempo total até o fundo é
, o tempo que a bola passa afundando (com velocidade constante) é
Passo 4
Durante o afundamento a velocidade é constante e igual à velocidade de impacto. Portanto a velocidade quando atinge o fundo é a mesma que tinha ao entrar na água:
Também podemos calcular a profundidade do lago (distância percorrida enquanto afunda): com velocidade constante
por
,
Resumo numérico até aqui: queda
em
atingindo
; afundamento
em
com
constante.
Passo 5
Agora a velocidade média considerando todo o percurso. Atenção: velocidade média escalar (ou “velocidade média” comum) é definida como distância total percorrida dividida pelo tempo total:
A distância total percorrida é a soma da queda e do afundamento:
Tempo total
. Logo
Observação rápida: a velocidade média vetorial (deslocamento/tempo) seria
se escolhesse “para cima” positivo; aqui o enunciado pede a velocidade média da bola (normalmente interpretada como escalar), então respondemos
.
Passo 6
Agora a parte (c): o lago foi drenado. A bola é lançada do trampolim e chega ao fundo
depois. Precisamos encontrar a velocidade inicial do lançamento. Primeiro, determine o deslocamento total entre o ponto de lançamento (trampolim) e o fundo do lago. Antes tínhamos: trampolim a
acima da superfície e a profundidade do lago (medida a partir da superfície) era
. Assim a distância vertical desde o trampolim até o fundo é
Escolho o eixo vertical com sentido positivo para cima. Então o deslocamento do ponto inicial para o fundo é
(negativo porque o fundo está abaixo do ponto de lançamento). A equação do movimento com aceleração constante (gravidade para baixo) é
onde
é a componente inicial vertical (positiva se para cima),
,
e
. Substituindo:
Calcule o termo de aceleração:
Então
Isolando
:
O sinal positivo indica que, na convenção escolhida (para cima positivo), a velocidade inicial é para cima. Em outras palavras, a bola deve ter sido lançada para cima com velocidade de
para que, após subir e cair, atinja o fundo
depois.
Breve interpretação física: se a bola fosse simplesmente largada sem velocidade, em
uma queda livre cobriria
, muito mais que os
reais — por isso foi necessário dar uma velocidade inicial para cima para “reduzir” o deslocamento para baixo durante os
.
Resposta
(a)
(para baixo);
(para baixo)
(b)
(c) (para cima)
(b)
(c)