Uma bola de chumbo é deixada cair de um trampolim localizado a 5 m acima da superfície de um lago. A bola bate na água com uma certa velocidade e a partir daí afunda com essa velocidade constante até o fundo do lago. Ela chegará ao fundo 5 s após ter sido largada. (Adote g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ).
(a) Qual é a velocidade com que a bola atinge a água e depois, quando atinge a profundidade do lago?
(b) Qual a velocidade média da bola considerando todo o percurso?
(c) Suponha que toda água do lago seja drenada. A bola é atirada do trampolim, e novamente chega ao fundo do lago 5s depois. Qual a velocidade inicial da bola?

Passo 1

Dados que o enunciado nos fornece e o que ele pede:
  • A bola é largada do trampolim localizado a 5\\ \mathrm{m} acima da superfície do lago.
  • A aceleração gravitacional vale g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • A bola é largada (no item inicial) sem velocidade inicial, isto é, velocidade inicial v_0=0 na queda livre.
  • Ao atingir a água, a bola passa a afundar com velocidade constante igual à velocidade com que atingiu a água.
  • A bola chega ao fundo do lago 5\\ \mathrm{s} após o instante em que foi largada. Ou seja, tempo total desde a largada até o fundo é T=5\\ \mathrm{s}.
O enunciado pede:
(a) a velocidade com que a bola atinge a água e a velocidade quando atinge o fundo do lago (após afundar);
(b) a velocidade média da bola considerando todo o percurso (queda + afundamento);
(c) supondo o lago vazio (água drenada), a bola é lançada do mesmo trampolim e chega ao fundo 5\\ \mathrm{s} depois — qual é a velocidade inicial de lançamento?

Passo 2

Vamos calcular a velocidade com que a bola atinge a água (impacto) usando as equações do movimento retilíneo uniformemente acelerado. Fórmulas úteis (movimento com aceleração constante):
  • Equação da velocidade em função do tempo: v = v_0 + a t, onde \,v é a velocidade no instante t, v_0 é a velocidade inicial e a a aceleração.
  • Equação da velocidade em função do deslocamento: v^{2}=v_{0}^{2}+2 a \Delta s, onde \Delta s é o deslocamento ao longo da direção da aceleração.
Aqui usamos a segunda fórmula com v_0=0, a=g e \Delta s=5\\ \mathrm{m}:
v_{\text{impacto}}^{2}=0+2 g \cdot 5.
Substituindo g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}:
v_{\text{impacto}}^{2}=2\cdot10\cdot5=100,
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v_{\text{impacto}}=\sqrt{100}=10\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a velocidade ao atingir a água tem módulo 10\\ \mathrm{m/s} e direção para baixo.

Passo 3

Também é útil calcular o tempo de queda até a água (tempo de queda livre). Usando v=v_0+g t com v_0=0 e v=v_{\text{impacto}}=10\\ \mathrm{m/s}:
t_{\text{queda}}=\frac{v_{\text{impacto}}-v_0}{g}=\frac{10}{10}=1\\ \mathrm{s}.
Como o tempo total até o fundo é T=5\\ \mathrm{s}, o tempo que a bola passa afundando (com velocidade constante) é
t_{\text{afundamento}}=T-t_{\text{queda}}=5-1=4\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Durante o afundamento a velocidade é constante e igual à velocidade de impacto. Portanto a velocidade quando atinge o fundo é a mesma que tinha ao entrar na água:
v_{\text{no fundo}}=v_{\text{impacto}}=10\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{para baixo}).
Também podemos calcular a profundidade do lago (distância percorrida enquanto afunda): com velocidade constante \,v=10\\ \mathrm{m/s} por 4\\ \mathrm{s},
d_{\text{lago}}=v\cdot t_{\text{afundamento}}=10\cdot4=40\\ \mathrm{m}.
Resumo numérico até aqui: queda 5\\ \mathrm{m} em 1\\ \mathrm{s} atingindo 10\\ \mathrm{m/s}; afundamento 40\\ \mathrm{m} em 4\\ \mathrm{s} com 10\\ \mathrm{m/s} constante.

Passo 5

Agora a velocidade média considerando todo o percurso. Atenção: velocidade média escalar (ou “velocidade média” comum) é definida como distância total percorrida dividida pelo tempo total:
\bar{v}=\frac{\text{distância total}}{\text{tempo total}}.â
A distância total percorrida é a soma da queda e do afundamento:
\text{distância total}=5+40=45\\ \mathrm{m}.â
Tempo total T=5\\ \mathrm{s}. Logo
\bar{v}=\frac{45}{5}=9\\ \mathrm{m/s}.
Observação rápida: a velocidade média vetorial (deslocamento/tempo) seria \frac{-45}{5}=-9\\ \mathrm{m/s} se escolhesse “para cima” positivo; aqui o enunciado pede a velocidade média da bola (normalmente interpretada como escalar), então respondemos \,9\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Agora a parte (c): o lago foi drenado. A bola é lançada do trampolim e chega ao fundo 5\\ \mathrm{s} depois. Precisamos encontrar a velocidade inicial do lançamento. Primeiro, determine o deslocamento total entre o ponto de lançamento (trampolim) e o fundo do lago. Antes tínhamos: trampolim a 5\\ \mathrm{m} acima da superfície e a profundidade do lago (medida a partir da superfície) era 40\\ \mathrm{m}. Assim a distância vertical desde o trampolim até o fundo é
H=5+40=45\\ \mathrm{m}.
Escolho o eixo vertical com sentido positivo para cima. Então o deslocamento do ponto inicial para o fundo é \Delta y = y_{\text{fundo}}-y_0 = -45\\ \mathrm{m} (negativo porque o fundo está abaixo do ponto de lançamento). A equação do movimento com aceleração constante (gravidade para baixo) é
\Delta y = v_0 t - \tfrac{1}{2} g t^{2},
onde v_0 é a componente inicial vertical (positiva se para cima), t=5\\ \mathrm{s}, g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} e \Delta y=-45\\ \mathrm{m}. Substituindo:
-45 = v_0\cdot5 - \tfrac{1}{2}\cdot10\cdot5^{2}.
Calcule o termo de aceleração:
\tfrac{1}{2}\cdot10\cdot5^{2} = 5\cdot25=125.
Então
-45 = 5 v_0 -125.
Isolando v_0:
5 v_0 = -45+125=80,
v_0=\frac{80}{5}=16\\ \mathrm{m/s}.
O sinal positivo indica que, na convenção escolhida (para cima positivo), a velocidade inicial é para cima. Em outras palavras, a bola deve ter sido lançada para cima com velocidade de 16\\ \mathrm{m/s} para que, após subir e cair, atinja o fundo 5\\ \mathrm{s} depois.
Breve interpretação física: se a bola fosse simplesmente largada sem velocidade, em 5\\ \mathrm{s} uma queda livre cobriria \tfrac{1}{2} g t^{2}=125\\ \mathrm{m}, muito mais que os 45\\ \mathrm{m} reais — por isso foi necessário dar uma velocidade inicial para cima para “reduzir” o deslocamento para baixo durante os 5\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) v_{\text{impacto}}=10\\ \mathrm{m/s} (para baixo); v_{\text{no fundo}}=10\\ \mathrm{m/s} (para baixo)
(b) \bar{v}=9\\ \mathrm{m/s}
(c) v_{0}=16\\ \mathrm{m/s} (para cima)

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