Questão 9) Uma luz monocromática de comprimento de onda igual a 490 nm passa por um orifício circular, e uma figura de difração resultante é observada sobre uma tela situada a uma distância de 1,20 \mathrm{~m} do orifício. Se a distância na tela entre o primeiro e o segundo anel escuro é 1,65 \mathrm{~mm}, qual é o diâmetro do orifício?
Dados: Posição do primeiro anel escuro \operatorname{sen} \theta_{1}=1,22 \frac{\lambda}{d}
Posição do segundo anel escuro \operatorname{sen} \theta_{2}=2,23 \frac{\lambda}{d}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dado: comprimento de onda \lambda = 490\\ \text{nm} = 490\times10^{-9}\\ \text{m}.
  • Dado: distância orifício→tela L = 1,20\\ \text{m}.
  • Dado: distância na tela entre o primeiro e o segundo anel escuro \Delta y = 1,65\\ \text{mm} = 1,65\times10^{-3}\\ \text{m}.
  • Dado (posições dos mínimos de difração para orifício circular): \sin\theta_{1}=1,22\,\frac{\lambda}{d}, \qquad \sin\theta_{2}=2,23\,\frac{\lambda}{d},onde d é o diâmetro do orifício e \theta_{1},\theta_{2} são os ângulos medidos a partir do eixo central até o 1.º e 2.º anel escuro.
  • Pedido: determinar o diâmetro d do orifício, usando as informações acima.

Passo 2

Explicar a relação entre o ângulo \theta e a posição y do anel na tela (aulas rápidas e sem mistério).
  • Em geometria simples, a posição radial y do anel na tela está ligada ao ângulo \theta por y = L\,\tan\theta,onde L é a distância até a tela.
  • Para padrões de difração com \lambda \ll d os ângulos são pequenos. Para ângulos pequenos vale a aproximação \tan\theta \approx \sin\theta \approx \theta\\ (\text{rad}).Assim, para nossos propósitos podemos usar a aproximação prática y \approx L\,\sin\theta.
  • Aqui: y_1 e y_2 são as posições do 1.º e 2.º anel escuro na tela, e \Delta y = y_2-y_1 é a diferença dada no enunciado.

Passo 3

Relacionar as fórmulas dadas para \sin\theta_1 e \sin\theta_2 com as posições na tela.
  • Usando y \approx L\sin\theta e as relações fornecidas: y_1 \approx L\sin\theta_{1} = L\left(1,22\frac{\lambda}{d}\right), \qquad y_2 \approx L\sin\theta_{2} = L\left(2,23\frac{\lambda}{d}\right).
  • Subtraindo: \Delta y = y_2-y_1 \approx L\lambda\frac{2,23-1,22}{d}.
  • Simplificar o fator numérico: 2,23-1,22 = 1,01.Portanto \Delta y \approx L\lambda\frac{1,01}{d}.

Passo 4

Isolar d e escrever a expressão final algébrica antes de inserir números.
  • Da relação anterior: d \approx L\lambda\frac{1,01}{\Delta y}.Essa é a fórmula que vamos usar para calcular d.

Passo 5

Substituir os valores numéricos com cuidado de unidades e fazer as contas passo a passo.
  • Valores em unidades SI: L = 1,20\\ \text{m},\qquad \lambda = 490\times10^{-9}\\ \text{m},\qquad \Delta y = 1,65\times10^{-3}\\ \text{m}.
  • Substituindo na fórmula: d \approx \frac{1,20\times(490\times10^{-9})\times1,01}{1,65\times10^{-3}}.
  • Calcular numerador em etapas: 1,20\times490 = 588, \qquad 588\times1,01 = 593,88,então \text{numerador} = 593,88\times10^{-9}\\ \text{m} = 5,9388\times10^{-7}\\ \text{m}.
  • Agora dividir: d \approx \frac{5,9388\times10^{-7}}{1,65\times10^{-3}} = \frac{5,9388}{1,65}\times10^{-4}\\ \text{m}.
  • Fazer a divisão: \frac{5,9388}{1,65}\approx 3,59927,logo d \approx 3,59927\times10^{-4}\\ \text{m}.
  • Convertendo para milímetros (mais intuitivo): d \approx 0,3599\\ \text{mm} \approx 0,360\\ \text{mm}.Ou em notação científica: d \approx 3,60\times10^{-4}\\ \text{m}.

Passo 6

Verificar a aproximação de ângulo pequeno (tranquiliza e confirma que o procedimento é válido).
  • Calculando \sin\theta_1=1,22\lambda/d com o d encontrado: \sin\theta_1 \approx 1,22\frac{490\times10^{-9}}{3,59927\times10^{-4}} \approx 1,66\times10^{-3}.
  • Esse valor é muito pequeno ( \sin\theta_1\approx0,00166), logo \theta_1 é da ordem de 1,66\times10^{-3}\\ \text{rad}\approx0,095^\circ. Portanto a aproximação y\approx L\sin\theta é perfeitamente válida aqui.

Resposta

d \approx 3,60\times10^{-4}\\ \text{m} = 0,360\\ \text{mm}

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