Na célebre corrida entre a lebre e a tartaruga, a velocidade média da lebre é de 25 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e a da tartaruga é de 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{min}. A distância a percorrer é de 1 km , e a lebre corre durante 0.70 min antes de parar para uma soneca. Qual é a duração máxima da soneca para que a lebre não perca a corrida?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (copiados do enunciado):
    • Velocidade da lebre: 25\\ \mathrm{km/h}.
    • Velocidade da tartaruga: 1,5\\ \mathrm{m/min}.
    • Distância total da corrida: 1\\ \mathrm{km}.
    • A lebre corre por 0,70\\ \mathrm{min} e então para para soneca (duração da soneca a determinar).
  • O que se pede:
    • A duração máxima da soneca para que a lebre não perca a corrida (ou seja, para que a lebre termine a corrida no mesmo instante em que a tartaruga chegar ou antes).

Passo 2

Padronizar unidades é essencial. Vou passar tudo para quilômetros por minuto ( \mathrm{km/min}), porque a distância está em \mathrm{km} e um tempo é dado em minutos.
  • Conversão de velocidade da lebre:
    • 1\\ \mathrm{h}=60\\ \mathrm{min}.
    • 25\\ \mathrm{km/h}=\frac{25}{60}\\ \mathrm{km/min}=\frac{5}{12}\\ \mathrm{km/min}.
    • Explicação curta: dividir por 60 transforma km/h em km/min.
  • Conversão de velocidade da tartaruga:
    • 1{,}5\\ \mathrm{m/min}=\dfrac{1{,}5}{1000}\\ \mathrm{km/min}=\dfrac{3}{2000}\\ \mathrm{km/min}.
    • Explicação curta: 1{,}5\\ \mathrm{m}=1{,}5/1000\\ \mathrm{km}.

Passo 3

Fórmula básica usada: tempo = distância \div velocidade. Vou calcular quanto a lebre percorre antes da soneca.
  • Distância percorrida pela lebre no primeiro trecho: d_1 = v_{\text{lebre}}\cdot t_1 = \frac{5}{12}\cdot 0,70 = \frac{5\cdot 0,70}{12} = \frac{3{,}5}{12} = \frac{7}{24}\\ \mathrm{km}.
    • Interpretação: a lebre já correu \dfrac{7}{24}\\ \mathrm{km} antes de dormir (aprox. 0,29166\ldots\\ \mathrm{km}).

Passo 4

Calcular a distância que resta para a lebre depois da soneca.
  • Distância restante: d_2 = 1 - \frac{7}{24} = \frac{24-7}{24} = \frac{17}{24}\\ \mathrm{km}.

Passo 5

Calcular o tempo que a lebre precisará para correr a distância restante depois da soneca.
  • Tempo do segundo trecho (após a soneca): t_{\text{run2}} = \frac{d_2}{v_{\text{lebre}}} = \frac{\frac{17}{24}}{\frac{5}{12}} = \frac{17}{24}\cdot\frac{12}{5} = \frac{17}{10} = 1{,}7\\ \mathrm{min}.
    • Explicação das contas: dividir frações é multiplicar pelo inverso; simplificou-se 12/24=1/2 levando ao resultado \dfrac{17}{10}.

Passo 6

Calcular o tempo total que a lebre gasta (sem contar a soneca) e o tempo que a tartaruga vai gastar para percorrer 1\\ \mathrm{km}.
  • Tempo total de corrida da lebre, excluindo a soneca: t_{\text{lebre,sem soneca}} = 0,70 + 1{,}7 = 2{,}4\\ \mathrm{min}.
  • Tempo que a tartaruga leva para percorrer 1\\ \mathrm{km}: t_{\text{tartaruga}} = \frac{1}{v_{\text{tartaruga}}} = \frac{1}{\tfrac{3}{2000}} = \frac{2000}{3}\\ \mathrm{min} \approx 666{,}6\overline{6}\\ \mathrm{min}.
    • Interpretação: a tartaruga é muito lenta, por isso seu tempo é enorme (mais de 11 horas).

Passo 7

Determinar a duração máxima da soneca usando a condição “a lebre não perde”: o tempo total da lebre (corrida inicial + soneca + corrida final) deve ser menor ou igual ao tempo da tartaruga.
  • Se t_{\text{son}} for a duração da soneca (em minutos), então: 0,70 + t_{\text{son}} + 1{,}7 \le \frac{2000}{3}.
    • Isolando t_{\text{son}}:
    t_{\text{son}}\le \frac{2000}{3} - (0,70+1{,}7) = \frac{2000}{3} - 2{,}4.
  • Calcular o valor: t_{\max} = \frac{2000}{3} - 2{,}4 = \frac{2000}{3} - \frac{12}{5} = \frac{9964}{15}\\ \mathrm{min}.
    • Em forma decimal:
    \frac{9964}{15}\\ \mathrm{min}\approx 664{,}266\overline{6}\\ \mathrm{min}.
    • Converter para horas, minutos e segundos:
      • 664\\ \mathrm{min}=11\\ \mathrm{h}\\\ 4\\ \mathrm{min}.
      • A parte decimal 0{,}266\overline{6}\\ \mathrm{min}\times 60\\ \mathrm{s/min}=16\\ \mathrm{s}.
      • Logo: 11\\ \mathrm{h}\\\ 4\\ \mathrm{min}\\\ 16\\ \mathrm{s} (aprox.).

Passo 8

Interpretação final e incentivo.
  • Conclusão: a lebre pode cochilar MUITO — cerca de 664{,}27\\ \mathrm{min} — e ainda ganhar da tartaruga, porque ela é muito mais rápida. Não esquece na prova: sempre padronize unidades, calcule distâncias percorridas antes e depois da pausa e use tempo = distância/velocidade para montar a desigualdade. Vai dar certo!

Resposta

t_{\max}=\dfrac{9964}{15}\\ \mathrm{min}\approx 664{,}266\overline{6}\\ \mathrm{min}=11\\ \mathrm{h}\\\ 4\\ \mathrm{min}\\\ 16\\ \mathrm{s}

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