Considere a situação de um carrinho de supermercado (vazio) que recebe um impulso inicial e desliza no chão do supermercado. Imagine o que aconteceria em uma situação real.
(a) Defina um sistema de coordenadas apropriado.
(b) Utilizando o sistema do item anterior, faça um gráfico da posição do carrinho em função do tempo. O gráfico pode ser uma representação aproximada do movimento.
(c) Faça o mesmo gráfico do item anterior, mas assumindo que o carrinho está cheio de compras.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Definir um sistema de coordenadas apropriado para descrever o movimento do carrinho que recebe um impulso inicial e desliza no chão.
  • (b) Usando esse sistema, fazer um gráfico (representação aproximada) da posição do carrinho em função do tempo para o carrinho vazio.
  • (c) Fazer o mesmo gráfico do item (b) para o carrinho cheio de compras.
Informações dadas/pressupostas no enunciado:
  • Há um carrinho que recebe um impulso inicial (isto é, alguém aplica uma ação breve que muda sua velocidade inicial).
  • O carrinho desliza sobre o chão do supermercado (há forças de resistência que fazem o carrinho desacelerar e eventualmente parar).
  • Existem duas situações a comparar: carrinho vazio e carrinho cheio.
  • Não foram fornecidos números (massa, coeficiente de atrito, impulso), então a resposta será em termos de variáveis e comparações qualitativas.

Passo 2

Definição do sistema de coordenadas e de variáveis — escolha simples e prática.
  • Escolher o eixo horizontal positivo na direção do movimento do carrinho. Vou colocar a origem no ponto onde o carrinho recebe o impulso.
  • Variáveis:
    • x(t) = posição do carrinho ao longo do chão no instante t, com x(0)=0.
    • v(t) = velocidade do carrinho em t.
    • v_0 = velocidade imediatamente após o impulso ( v(0^+)=v_0).
    • m = massa do carrinho (vai existir m_{\rm vazio} e m_{\rm cheio}).
    • J = impulso aplicado inicialmente (quantidade que mudou o momento).
    • \mu_k = coeficiente de atrito cinético entre rodas/chão (modelo simplificado).
    • g = aceleração da gravidade.
  • Observação prática: usar esse sistema torna x crescente enquanto o carrinho vai à frente; quando o carrinho parar, x ficará constante.

Passo 3

Conceito físico 1 — impulso e velocidade inicial (aula curta e direta).
  • Impulso é a quantidade que altera o momento linear. A relação é
J = \Delta p = m \Delta v.
  • Se o carrinho parte do repouso e recebe impulso J, então a velocidade inicial é
v_0 = \frac{J}{m}.
  • Interpretação fácil: para o mesmo impulso J, um carrinho com menor massa obtém maior v_0; um carrinho mais pesado obtém menor v_0.

Passo 4

Conceito físico 2 — força de atrito e aceleração de desaceleração (explicação passo a passo).
  • Modelo simples: enquanto o carrinho desliza/roda, há uma força resistiva praticamente constante, que posso modelar como força de atrito cinético horizontal de módulo
f_k = \mu_k N,
onde N é a normal. No plano horizontal sem inclinação, N = m g.
  • Logo
f_k = \mu_k m g.
  • A segunda lei de Newton dá a aceleração horizontal (sinal negativo porque opõe-se ao movimento):
m a = -f_k = -\mu_k m g \quad\Rightarrow\quad a = -\mu_k g.
  • Observação importante e didática: a massa m aparece tanto no numerador quanto no denominador e cancela — por isso, com esse modelo simples, a aceleração de desaceleração a NÃO depende da massa do carrinho; depende apenas de \mu_k e g.

Passo 5

Equações do movimento sob desaceleração constante — como obter x(t), tempo de parada e distância de parada.
  • Para aceleração constante a = -\mu_k g e velocidade inicial v_0, as fórmulas cinemáticas (derivadas da integração de a) são:
v(t) = v_0 + a t,
x(t) = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2,
válidas enquanto o carrinho estiver em movimento (ou seja, até o tempo de parada).
  • Tempo até parar ( v(t_s)=0):
0 = v_0 + a t_s \quad\Rightarrow\quad t_s = -\frac{v_0}{a} = \frac{v_0}{\mu_k g}.
(Aqui usei a=-\mu_k g, portanto t_s>0.)
  • Distância percorrida até a parada (substituindo t_s em x(t) ou usando fórmula direta):
d = x(t_s) = \frac{v_0^2}{2\mu_k g}.
  • Comentário didático: x(t) é uma parábola (termo em t^2) com concavidade para baixo (porque a<0), começando com inclinação inicial v_0 e atingindo um máximo d quando v=0. Depois desse tempo o carrinho permanece em x=d.

Passo 6

Aplicando o caso vazio vs cheio assumindo o mesmo impulso inicial J (isso é crucial; explico por que escolhi essa hipótese).
  • O enunciado disse “recebe um impulso inicial”. Interpreto que o impulso J aplicado é o mesmo nas duas situações (mesmo empurrão curto). Essa é uma suposição natural para comparar vazio vs cheio; se alguém aplica a mesma ação breve, J é aproximadamente o mesmo.
  • Com v_0 = J/m, temos para o carrinho vazio ( m_{\rm vazio}) e cheio ( m_{\rm cheio}):
v_{0,\rm vazio} = \frac{J}{m_{\rm vazio}},\qquad v_{0,\rm cheio}=\frac{J}{m_{\rm cheio}}.
  • Geralmente m_{\rm cheio} > m_{\rm vazio}, então
v_{0,\rm vazio} > v_{0,\rm cheio}.
  • Tempo de parada:
t_{s,\rm vazio} = \frac{v_{0,\rm vazio}}{\mu_k g} = \frac{J}{m_{\rm vazio}\,\mu_k g}, \qquad t_{s,\rm cheio} = \frac{J}{m_{\rm cheio}\,\mu_k g}.
Logo t_{s,\rm vazio} > t_{s,\rm cheio} se o vazio tiver menor massa.
  • Distância de parada:
d_{\rm vazio} = \frac{v_{0,\rm vazio}^2}{2\mu_k g} = \frac{J^2}{2\mu_k g\,m_{\rm vazio}^2}, \qquad d_{\rm cheio} = \frac{J^2}{2\mu_k g\,m_{\rm cheio}^2}.
Assim d_{\rm vazio} > d_{\rm cheio}.
  • Interpretação simples: com o mesmo empurrão curto (mesmo J), o carrinho vazio sai mais rápido, demora mais para parar e percorre maior distância; o cheio fica mais devagar, para mais rápido e percorre menos distância.

Passo 7

Como desenhar (esboçar) o gráfico x(t) para cada caso — instruções práticas para a prova.
  • Regra geral (válida para ambos):
    • Para 0\le t\le t_s: usar a parábola
    x(t)=v_0 t - \tfrac{1}{2}\mu_k g t^2.
    • Para t\ge t_s: x(t)=d (linha horizontal).
  • Passos para esboçar no papel:
    1. Trace o eixo horizontal (tempo t) e vertical (posição x). Marque t=0 e x=0.
    2. Para cada caso, desenhe uma curva que começa em 0 com inclinação inicial igual a v_0. A inclinação inicial é maior para o carrinho vazio porque v_{0,\rm vazio}>v_{0,\rm cheio}.
    3. A curva é uma parábola voltada para baixo (concavidade negativa). Ela se torna cada vez mais “menos inclinada” até a tangente ficar horizontal em t=t_s.
    4. Depois de t_s a curva vira uma linha horizontal em x=d.
  • Comparação visual final:
    • Curva do carrinho vazio: começa mais inclinada, cresce mais rápido, atinge uma altura final d_{\rm vazio} maior e leva mais tempo t_{s,\rm vazio} para chegar ao platô.
    • Curva do carrinho cheio: começa menos inclinada, cresce mais devagar, atinge um platô menor d_{\rm cheio} e chega ao platô em tempo menor t_{s,\rm cheio}.
  • Dica prática para prova: marque dois pontos-chave em cada curva — o ponto final (t_s,d) e um ponto intermediário como (t_s/2, x(t_s/2)) usando a fórmula x(t) — isso ajuda a desenhar a parábola corretamente.

Passo 8

Observações, variações e como falar disso na prova (respostas curtas para ganhar pontos).
  • Se, alternativamente, o que fosse mantido igual entre os dois casos fosse a mesma velocidade inicial v_0 (por exemplo, alguém empurra até uma velocidade desejada, não aplicando o mesmo impulso), então ambos teriam o mesmo t_s e mesmo d porque a não depende de m. Neste enunciado, porém, a palavra “impulso” sugere comparar com mesmo J.
  • No mundo real há outros fatores (rolamento das rodas, resistência do ar, variação de \mu_k com carga) que podem alterar números; aqui usamos o modelo clássico simples para obter a forma do gráfico e a comparação qualitativa.
  • Linguagem para a prova: explique a suposição feita (mesmo J), escreva as fórmulas (impulso → v_0=J/m; aceleração → a=-\mu_k g; x(t)=v_0 t -\tfrac12\mu_k g t^2; t_s=v_0/(\mu_k g); d=v_0^2/(2\mu_k g)) e compare v_0, t_s, d entre vazio e cheio.

Resposta

(a) Sistema: eixo x ao longo do chão na direção do movimento, origem em x=0 onde o impulso é aplicado; variáveis x(t), v(t), v_0, m, J, \mu_k, g.
(b) Para o carrinho vazio (assumindo mesmo impulso J):
v_0 = \dfrac{J}{m_{\rm vazio}}, a=-\mu_k g, x(t)=v_0 t - \tfrac{1}{2}\mu_k g t^2 para 0\le t\le t_{s,\rm vazio} com t_{s,\rm vazio}=\dfrac{v_0}{\mu_k g} e d_{\rm vazio}=\dfrac{v_0^2}{2\mu_k g}. O gráfico é uma parábola concava para baixo saindo de 0 com inclinação inicial maior, alcançando o platô horizontal x=d_{\rm vazio} em t_{s,\rm vazio}.
(c) Para o carrinho cheio (mesmo J):
v_0 = \dfrac{J}{m_{\rm cheio}} (menor que no vazio), a=-\mu_k g, x(t)=v_0 t - \tfrac{1}{2}\mu_k g t^2 para 0\le t\le t_{s,\rm cheio} com t_{s,\rm cheio}=\dfrac{v_0}{\mu_k g} e d_{\rm cheio}=\dfrac{v_0^2}{2\mu_k g}. O gráfico é também uma parábola concava para baixo, mas com inclinação inicial menor, alcançando um platô menor x=d_{\rm cheio} em tempo menor t_{s,\rm cheio}.

Exercícios relacionados