A posição de uma partícula movendo-se em linha reta é dada por
, onde
é dado em metros e
em segundos. (a) Qual é a posição da partícula nos instantes
e 4 s ? (b) Qual é o deslocamento da partícula entre os instantes
e
? (c) Qual é a velocidade média para o intervalo de tempo compreendido entre os instantes 2s e 4s? (d) Calcule a velocidade e a aceleração da partícula nos instantes
e 4 s .
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula como função do tempo:
onde
está em metros e
em segundos. As perguntas são:
(a) Calcular a posição nos instantes ,
,
e
s.
(b) Calcular o deslocamento entre s e
s.
(c) Calcular a velocidade média no intervalo entre s e
s.
(d) Calcular a velocidade instantânea e a aceleração nos instantes s,
s,
s e
s.
(a) Calcular a posição nos instantes
(b) Calcular o deslocamento entre
(c) Calcular a velocidade média no intervalo entre
(d) Calcular a velocidade instantânea e a aceleração nos instantes
Passo 2
(a) Para achar a posição em um instante específico, substituímos esse valor de
em
. Vou fazer cada substituição passo a passo.
Calcular
:
Portanto
metros.
Calcular
:
Portanto
metros.
Calcular
:
Portanto
metros.
Calcular
:
Portanto
metros.
Passo 3
(b) O deslocamento entre
e
é a variação da posição:
Primeiro calcule
:
Então
Logo o deslocamento entre
e
s é
metros.
Passo 4
(c) A velocidade média no intervalo
é definida por
Aqui
s e
s, e já temos
e
. Então
A velocidade média no intervalo
s a
s é
metros por segundo.
Passo 5
(d) Agora vamos encontrar a velocidade instantânea e a aceleração. Conceitos rápidos e úteis:
- Velocidade instantânea
é a derivada da posição em relação ao tempo: . Fisicamente é a taxa instantânea de variação da posição. - Aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo (ou a segunda derivada da posição): . Fisicamente indica como a velocidade está mudando no instante.
Para derivar polinômios usamos a regra de potências: a derivada de
é
. Vou derivar termo a termo.
Derivando
:
- Derivada de
é (pois é constante multiplicando ). - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Somando:
Passo 6
Agora calculo
nos instantes pedidos substituindo
.
Calcular
:
Portanto
m/s.
Calcular
:
Portanto
m/s.
Calcular
:
Portanto
m/s.
Calcular
:
Portanto
m/s.
Passo 7
Agora a aceleração
é a derivada de
. Derivo
termo a termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
(constante) é .
Assim
Passo 8
Calcular
nos instantes pedidos.
Calcular
:
Portanto
m/s
.
Calcular
:
Portanto
m/s
.
Calcular
:
Portanto
m/s
.
Calcular
:
Portanto
m/s
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)