A posição de uma partícula movendo-se em linha reta é dada por x=3 t-4 t^{2}+t^{3}, onde x é dado em metros e t em segundos. (a) Qual é a posição da partícula nos instantes t=1,2,3 e 4 s ? (b) Qual é o deslocamento da partícula entre os instantes t=0 \mathrm{~s} e t=4 \mathrm{~s} ? (c) Qual é a velocidade média para o intervalo de tempo compreendido entre os instantes 2s e 4s? (d) Calcule a velocidade e a aceleração da partícula nos instantes t=1 \mathrm{~s}, 2 \mathrm{~s}, 3 \mathrm{~s} e 4 s .

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula como função do tempo:
x(t)=3t-4t^{2}+t^{3},
onde x está em metros e t em segundos. As perguntas são:
(a) Calcular a posição nos instantes t=1, t=2, t=3 e t=4 s.
(b) Calcular o deslocamento entre t=0 s e t=4 s.
(c) Calcular a velocidade média no intervalo entre t=2 s e t=4 s.
(d) Calcular a velocidade instantânea e a aceleração nos instantes t=1 s, t=2 s, t=3 s e t=4 s.

Passo 2

(a) Para achar a posição em um instante específico, substituímos esse valor de t em x(t). Vou fazer cada substituição passo a passo.
Calcular x(1):
x(1)=3(1)-4(1)^{2}+(1)^{3}=3-4+1=0.
Portanto x(1)=0 metros.
Calcular x(2):
x(2)=3(2)-4(2)^{2}+(2)^{3}=6-4\cdot4+8=6-16+8=-2.
Portanto x(2)=-2 metros.
Calcular x(3):
x(3)=3(3)-4(3)^{2}+(3)^{3}=9-4\cdot9+27=9-36+27=0.
Portanto x(3)=0 metros.
Calcular x(4):
x(4)=3(4)-4(4)^{2}+(4)^{3}=12-4\cdot16+64=12-64+64=12.
Portanto x(4)=12 metros.

Passo 3

(b) O deslocamento entre t=0 e t=4 é a variação da posição:
\Delta x = x(4)-x(0).
Primeiro calcule x(0):
x(0)=3\cdot0-4\cdot0^{2}+0^{3}=0.
Então
\Delta x = x(4)-x(0)=12-0=12.
Logo o deslocamento entre 0 e 4 s é 12 metros.

Passo 4

(c) A velocidade média no intervalo [t_{1},t_{2}] é definida por
\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Aqui t_{1}=2 s e t_{2}=4 s, e já temos x(2)=-2 e x(4)=12. Então
\bar{v}=\frac{12-(-2)}{4-2}=\frac{14}{2}=7.
A velocidade média no intervalo 2 s a 4 s é 7 metros por segundo.

Passo 5

(d) Agora vamos encontrar a velocidade instantânea e a aceleração. Conceitos rápidos e úteis:
  • Velocidade instantânea v(t) é a derivada da posição em relação ao tempo: v(t)=\dfrac{dx}{dt}. Fisicamente é a taxa instantânea de variação da posição.
  • Aceleração a(t) é a derivada da velocidade em relação ao tempo (ou a segunda derivada da posição): a(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}. Fisicamente indica como a velocidade está mudando no instante.
Para derivar polinômios usamos a regra de potências: a derivada de t^{n} é n t^{n-1}. Vou derivar termo a termo.
Derivando x(t)=3t-4t^{2}+t^{3}:
  • Derivada de 3t é 3 (pois 3 é constante multiplicando t^{1}).
  • Derivada de -4t^{2} é -4\cdot 2t^{1}=-8t.
  • Derivada de t^{3} é 3t^{2}.
Somando:
v(t)=\frac{dx}{dt}=3t^{2}-8t+3.

Passo 6

Agora calculo v(t) nos instantes pedidos substituindo t.
Calcular v(1):
v(1)=3(1)^{2}-8(1)+3=3-8+3=-2.
Portanto v(1)=-2 m/s.
Calcular v(2):
v(2)=3(2)^{2}-8(2)+3=3\cdot4-16+3=12-16+3=-1.
Portanto v(2)=-1 m/s.
Calcular v(3):
v(3)=3(3)^{2}-8(3)+3=3\cdot9-24+3=27-24+3=6.
Portanto v(3)=6 m/s.
Calcular v(4):
v(4)=3(4)^{2}-8(4)+3=3\cdot16-32+3=48-32+3=19.
Portanto v(4)=19 m/s.

Passo 7

Agora a aceleração a(t) é a derivada de v(t). Derivo v(t)=3t^{2}-8t+3 termo a termo:
  • Derivada de 3t^{2} é 3\cdot2t=6t.
  • Derivada de -8t é -8.
  • Derivada de 3 (constante) é 0.
Assim
a(t)=\frac{dv}{dt}=6t-8.

Passo 8

Calcular a(t) nos instantes pedidos.
Calcular a(1):
a(1)=6(1)-8=6-8=-2.
Portanto a(1)=-2 m/s ^2.
Calcular a(2):
a(2)=6(2)-8=12-8=4.
Portanto a(2)=4 m/s ^2.
Calcular a(3):
a(3)=6(3)-8=18-8=10.
Portanto a(3)=10 m/s ^2.
Calcular a(4):
a(4)=6(4)-8=24-8=16.
Portanto a(4)=16 m/s ^2.

Resposta

(a) x(1)=0\\ \text{m},\quad x(2)=-2\\ \text{m},\quad x(3)=0\\ \text{m},\quad x(4)=12\\ \text{m}.
(b) \Delta x =12\\ \text{m}.
(c) \bar{v}_{2\to4}=7\\ \text{m/s}.
(d) v(1)=-2\\ \text{m/s},\\ v(2)=-1\\ \text{m/s},\\ v(3)=6\\ \text{m/s},\\ v(4)=19\\ \text{m/s};
\quad a(1)=-2\\ \text{m/s}^{2},\\ a(2)=4\\ \text{m/s}^{2},\\ a(3)=10\\ \text{m/s}^{2},\\ a(4)=16\\ \text{m/s}^{2}.

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