Uma bola é chutada e, depois de 3 s , cai a uma distância de 30 m . (a) Qual a altura máxima alcançada por esta bola antes de tocar o solo novamente? (b) Quando chutada, quais são as componentes horizontal e vertical da velocidade desta bola? © Qual é a velocidade escalar da bola quando bate no chão? (d) Que ângulo fez com o solo no início de sua trajetória?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre movimento de projétil, que é basicamente o movimento de um objeto lançado no ar, como uma bola sendo chutada. A gente tem que usar algumas fórmulas de física para descobrir a altura máxima, as componentes da velocidade inicial, a velocidade quando a bola toca o chão e o ângulo de lançamento. Vamos precisar dos conceitos de cinemática e das equações do movimento uniformemente variado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • O tempo total no ar é de 3 segundos.
  • A distância horizontal percorrida é de 30 metros.
  • A aceleração da gravidade g é aproximadamente 9,8 m/s².

Passo 3

Vamos descobrir as componentes horizontal ( v0x) e vertical ( v0y) da velocidade inicial.
Sabemos que o tempo total de voo em um projétil é dado por:
T = 2v0yg
Podemos rearranjar essa fórmula para encontrar v0y:
v0y = gT2 = 9,8 times 32 = 14,7 m/s

Passo 4

Agora, vamos encontrar a componente horizontal da velocidade inicial.
A distância horizontal (alcance) é dada por:
R = v0x times T
Rearranjando para v0x:
v0x = RT = 303 = 10 m/s

Passo 5

Com as componentes da velocidade inicial, podemos encontrar a velocidade escalar inicial v0 usando o teorema de Pitágoras:
v0 = raizv0x^2 + v0y^2 = raiz10^2 + 14,7^2 approx raiz100 + 216,09 approx raiz316,09 approx 17,79 m/s

Passo 6

Agora, vamos calcular a altura máxima alcançada pela bola. A altura máxima acontece quando a componente vertical da velocidade é zero. Usamos a fórmula:
hmax = v0y^22g = 14,7^22 times 9,8 approx 216,0919,6 approx 11,04 m

Passo 7

Para encontrar a velocidade escalar da bola quando ela bate no chão, sabemos que a velocidade vertical no impacto será igual em módulo e oposta em direção à velocidade inicial vertical. Assim:
vy = -v0y = -14,7 m/s
A componente horizontal permanece a mesma:
vx = 10 m/s
Então, a velocidade escalar no impacto é:
v = raizvx^2 + vy^2 = raiz10^2 + (-14,7)^2 approx raiz100 + 216,09 approx raiz316,09 approx 17,79 m/s

Passo 8

Por fim, vamos encontrar o ângulo de lançamento com o solo. Usamos a tangente do ângulo, que é a razão entre as componentes vertical e horizontal da velocidade inicial:
tan(theta) = v0yv0x = 14,710 = 1,47
Para encontrar o ângulo theta, tiramos a arcotangente:
theta = arctan(1,47) approx 55°

Resposta

(a) A altura máxima alcançada pela bola é de aproximadamente 11,04 metros.
(b) As componentes da velocidade inicial são:
  • Horizontal: 10 m/s
  • Vertical: 14,7 m/s
© A velocidade escalar da bola quando bate no chão é de aproximadamente 17,79 m/s.
(d) O ângulo de lançamento com o solo é de aproximadamente 55 graus.

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