Uma partícula presa a uma mola oscila em um movimento harmônico simples ao longo do eixo x, obedecendo à seguinte função horária da posição:
x(t)=0,2 cos (5 t+ pi / 4)
onde x(t) está em metros e t em segundos.
Escreva a equação da aceleração em função do tempo e determine a aceleração máxima da partícula.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que uma partícula presa a uma mola faz um Movimento Harmônico Simples (MHS) descrito por
x(t) = 0,2 ,cosl(5t + tfracpi4r)
em que está em metros e em segundos.
Conteúdo: MHS e derivadas (para achar aceleração a partir de ).
O que precisamos:
  • Saber que aceleração é a segunda derivada de .
  • Entender derivada de e aplicar a regra da cadeia.
  • Usar que, em MHS, .

Passo 2

Vamos derivar x(t) = Acos(omega t + phi), A=0,2,;omega=5,;phi=tfracpi4 uma vez pra achar a velocidade, só pra fixar a ideia:
v(t)=x'(t) = ddtl[0,2cos(5t+tfracpi4)r] = 0,2;l[-sin(5t+tfracpi4)r]cdot(5) = -1,0,sinl(5t+tfracpi4r)
Derivada de é vezes a derivada de . Então:

Passo 3

Agora derivamos de novo para achar a aceleração a(t)=v'(t) = ddtl[-1,0,sin(5t+tfracpi4)r] = -1,0;l[cos(5t+tfracpi4)r]cdot(5) = -5,cosl(5t+tfracpi4r) .
Derivada de é vezes a derivada de . Assim:
Isso bate com a fórmula geral do MHS , pois e .

Passo 4

Para achar a aceleração máxima, basta ver o valor máximo de |amax| = 5cdot 1 = 5 m/s^2 , que é .

Resposta

A equação da aceleração é
boxeda(t) = -5,cosl(5t + tfracpi4r) (m/s^2)
e a aceleração máxima vale
boxedamax = 5 m/s^2

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