Uma bola esférica de naftaleno sólido não poroso, ou naftalina, é suspensa no ar parado. A bola de naftaleno sublima lentamente, liberando vapor de naftaleno no ar em sua volta por processo limitado pela difusão. Estime o tempo requerido para reduzir o diâmetro de 2,0 para 0,50 \mathrm{~cm}, quando o ar em seu entorno estiver a 347 K e 1,0 \mathrm{~atm}. A massa molar do naftaleno é 128 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, sua densidade é de 1,145 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e sua difusividade no ar é 8,19 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. O naftaleno exerce uma pressão de vapor de 5,0 Torr ( 666 Pa) a 347 K. Resposta: t=61,6 h.

Passo 1

O enunciado pede o tempo necessário para que uma esfera de naftaleno de diâmetro inicial 2{,}0\:\mathrm{cm} diminua até 0{,}50\:\mathrm{cm} por sublimação controlada por difusão em ar parado a 347\:\mathrm{K} e 1{,}0\:\mathrm{atm}. O conteúdo é transferência de massa por difusão em coordenadas esféricas, usando a lei de Fick em regime estacionário e o balanço de massa na esfera.

Passo 2

Em regime estacionário de difusão radial em torno de uma esfera de raio R, a taxa molar de sublimação é constante em r e vem de
\dot n = -4\pi r^2 D\,\frac{dC}{dr}
Integrando de r=R (concentração C_s) até r\to\infty ( C_\infty\approx0) obtemos
\dot n = 4\pi D\,R\,(C_s - C_\infty) = 4\pi D\,R\,C_s.
A taxa de massa é \dot m = \dot n\,M.

Passo 3

A massa da esfera de densidade \rho e raio R é
m = \frac{4\pi}{3}\,\rho\,R^3.
Como \dot m = \tfrac{dm}{dt}, temos
\frac{dm}{dt} = 4\pi D\,R\,C_s\,M.
Derivando m em relação a R e usando a regra da cadeia,
\frac{dm}{dR} = 4\pi\rho R^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dR}{dt} = \frac{\dot m}{dm/dR} = -\frac{D\,C_s\,M}{\rho\,R}.
O sinal negativo indica diminuição de R.

Passo 4

Separamos variáveis e integramos de R_0 até R_1:
R\,dR = -\frac{D\,C_s\,M}{\rho}\,dt \quad\Longrightarrow\quad \int_{R_0}^{R_1}R\,dR = -\frac{D\,C_s\,M}{\rho}\int_0^t dt.
Fazendo a integral em R,
\frac{1}{2}\bigl(R_1^2 - R_0^2\bigr) = -\frac{D\,C_s\,M}{\rho}\,t \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\rho\,(R_0^2 - R_1^2)}{2\,D\,C_s\,M}.

Passo 5

Calculemos C_s pela pressão de vapor p=666\:\mathrm{Pa}:
C_s = \frac{p}{R_u\,T} = \frac{666}{8{,}314\times 347} \approx 0{,}2309\:\mathrm{mol/m^3}.
Em unidades SI temos
\rho = 1{,}145\:\mathrm{g/cm^3}=1145\:\mathrm{kg/m^3},
M=128\:\mathrm{g/mol}=0{,}128\:\mathrm{kg/mol},
D=8{,}19\times10^{-6}\:\mathrm{m^2/s},
R_0=1{,}0\:\mathrm{cm}=0{,}010\:\mathrm{m},
R_1=0{,}25\:\mathrm{cm}=0{,}0025\:\mathrm{m}.
Logo,
t = \frac{1145\,(0,010^2 - 0,0025^2)} {2\times 8{,}19\times10^{-6}\times 0{,}2309\times0{,}128} \approx 2{,}22\times10^5\:\mathrm{s} \approx 61{,}6\:\mathrm{h}.

Resposta

t = 61{,}6\:\mathrm{h}.

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