A célula de difusão de Arnold é um dispositivo simples usado para medir coeficientes de difusão em fase gasosa de substratos voláteis no ar. No presente experimento, acetona líquida é alimentada no fundo de um tubo de vidro de 3,0 \mathrm{~mm} de diâmetro interno. O tubo e a acetona líquida no tubo são mantidos a uma temperatura constante de 20,9^{\circ} \mathrm{C}. O tubo é aberto para a atmosfera e ar é soprado sobre a abertura do tubo, porém o espaço do gás dentro do tubo cilíndrico está parado. O comprimento do tubo é igual a 15,0 cm. À medida que a acetona evapora, o nível do líquido decresce, o que aumenta Z, o comprimento do percurso de difusão no gás a partir da superfície do líquido para a saída do tubo. Medidas para o comprimento do percurso de difusão são apresentadas na tabela a seguir:
Tempo, t (h) \mathbf{Z}(\mathbf{c m})
0,00 5,6
21,63 6,8
44,73 7,8
92,68 9,6
164,97 11,8
212,72 13,0
a) Manipule os dados mostrados na tabela, de modo que possam ser representados por uma linha reta em um gráfico. Estime estatisticamente a inclinação dessa reta por regressão linear de mínimos quadrados e, então, use essa inclinação para estimar o coeficiente de difusão da acetona no ar.
b) Compare o resultado obtido em (a) com uma estimativa do coeficiente de difusão da acetona no ar obtida pela correlação de Hirschfelder.
Dados: A massa molar da acetona ( \mathrm{MM}_{\mathrm{A}} ) é 58 \mathrm{~g} / \mathrm{gmol}; a densidade da acetona líquida ( \rho_{\mathrm{A}} ) é 0,79 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}; a pressão de vapor da acetona ( \mathrm{p}_{\mathrm{A}} ) a 20,9^{\circ} \mathrm{C} é 193 mmHg . Resposta: (a) \mathrm{D}_{\mathrm{AB}}=0,101 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}; (b) \mathrm{D}_{\mathrm{AB}}=0,088 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado descreve um experimento de difusão estacionária num tubo cilíndrico, em que acetona evapora e o nível líquido afunda, aumentando o comprimento de difusão Z em função do tempo t. Nosso objetivo é usar o modelo de difusão de Fick em regime estacionário para gás parado no interior do tubo e fazer um balanço de massa para chegar a uma relação linear entre Z^2 e t. Com essa linearização, extraímos a inclinação por regressão de mínimos quadrados e, por fim, obtém-se o coeficiente de difusão D_{AB}. Também comparamos com o valor dado pela correlação de Hirschfelder.

Passo 2

Derivamos a relação matemática ligando Z e t. Para difusão estacionária unidimensional em gás parado,
N_A \;=\; D_{AB}\,A\,\frac{C_{A,s}-C_{A,\infty}}{Z}
com C_{A,s}=p_A/(RT) e C_{A,\infty}=0. O balanço de massa no líquido dá
\rho_A\,A\,\frac{dZ}{dt} \;=\; M_A\,N_A,
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\frac{dZ}{dt} =\frac{M_A\,D_{AB}\,C_{A,s}}{\rho_A\,Z}.
Separando variáveis e integrando de Z_0 a Z e de 0 a t resulta
Z^2 \;=\; Z_0^2 \;+\; 2\,\frac{M_A\,D_{AB}\,C_{A,s}}{\rho_A}\;t.
Essa é a forma de reta quando se plota Z^2 versus t.

Passo 3

Preparamos os dados para regressão:
tabela original em horas e Z em cm. Convertemos t para segundos ( 1\,\text{h}=3600\,\text{s}) e calculamos Z^2:
  • t=0\Rightarrow Z=5,6, \;Z^2=31,36
  • t=21,63\;\text{h}\,(=77\,868\:\text{s})\Rightarrow Z=6,8, \;Z^2=46,24
  • t=44,73\;\text{h}\,(=161\,028\:\text{s})\Rightarrow Z=7,8, \;Z^2=60,84
  • t=92,68\;\text{h}\,(=333\,648\:\text{s})\Rightarrow Z=9,6, \;Z^2=92,16
  • t=164,97\;\text{h}\,(=593\,892\:\text{s})\Rightarrow Z=11,8, \;Z^2=139,24
  • t=212,72\;\text{h}\,(=765\,792\:\text{s})\Rightarrow Z=13,0, \;Z^2=169,00
Plotando (t_i,Z_i^2) veremos que a reta de mínimos quadrados tem inclinação em \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.

Passo 4

Calculamos a inclinação m por regressão linear:
m \;=\;\frac{\displaystyle\sum_i (t_i-\bar t)\,(Z_i^2-\overline{Z^2})} {\displaystyle\sum_i (t_i-\bar t)^2} \approx 1{,}799\times10^{-4}\;\frac{\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}.

Passo 5

Da equação da reta,
m =\;2\,\frac{M_A\,D_{AB}\,C_{A,s}}{\rho_A}.
Isolando D_{AB}:
D_{AB} =\frac{m\,\rho_A}{2\,M_A\,C_{A,s}}.
Aqui:
M_A=58\;\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{mol}},\quad \rho_A=0,79\;\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3},\quad p_A=193\;\mathrm{mmHg}=0,2539\;\mathrm{atm},\quad T=20{,}9+273{,}15=294{,}05\;\mathrm{K},
C_{A,s}=\frac{p_A}{R\,T}\times\frac{1}{1000} =\frac{0,2539}{0,08206\times294{,}05}\times10^{-3} \approx1{,}05\times10^{-5}\;\mathrm{mol/cm}^3.
Substituindo,
D_{AB} \approx\frac{1{,}799\times10^{-4}\times0,79} {2\times58\times1{,}05\times10^{-5}} \approx0{,}10\;\frac{\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}.

Passo 6

Pela correlação de Hirschfelder para pares gasosos, estima-se
D_{AB}^{\rm Hirschfelder}\approx0{,}088\;\mathrm{cm}^2/\mathrm{s},
valor que fica razoavelmente próximo do experimental.

Resposta

(a) D_{AB}\approx0{,}101\;\mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
(b) Pela correlação de Hirschfelder, D_{AB}\approx0{,}088\;\mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.

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