Uma bola de ferro é atraída por um ímã com uma força de 12 x^-2 N quando a bola está a x metros do ímã. Qual o trabalho realizado para empurrá-la no sentido contrário ao do ímã, do ponto onde x=2 ao ponto onde x=6?

Passo 1

O enunciado dá uma força de atração variável que age na bola: quando a bola está a uma distância x do ímã, a força é F(x)=12x^-2 newtons. Precisamos calcular o trabalho que um agente externo realiza para empurrar a bola no sentido contrário à atração, indo de x=2 a x=6. O conteúdo principal aqui é trabalho realizado por uma força variável, que exige usar integral.

Passo 2

Para empurrar a bola para longe do ímã, aplicamos uma força igual e oposta à força de atração, de modo que o trabalho que fazemos é dado por
W=integral2^6F(x),dx

Passo 3

Substituindo F(x)=12x^-2 na integral, temos
W=integral2^612x^2,dx

Passo 4

Para resolver, usamos a antiderivada de x^-2, que é -x^-1. Assim:
W=12l[-x^-1r]2^6

Passo 5

Agora aplicamos os limites:
W=12l(-tfrac16+tfrac12r)=12l(tfrac12-tfrac16r)=12cdottfrac13=4

Passo 6

Portanto, o trabalho realizado pelo agente externo para empurrar a bola de 2 a 6 metros é 4 joules.

Resposta

4 J

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