Calcule a integral
integral 2 x raiz1+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 2xraiz1+x^2,dx. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais e vamos usar a técnica de substituição para simplificar o integrando.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = 1 + x^2, pois a derivada de 1 + x^2 aparece multiplicando a raiz. Calculamos o diferencial: du = 2x,dx.

Passo 3

Com a substituição, o integrando fica raizu e 2x,dx é substituído por du. Assim a integral vira integral raizu,du = integral u^1/2,du.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de potenciais: integral u^n,du = u^n+1n+1 + C com n = 1/2. Então
integral u^1/2,du = u^3/23/2 + C = 23u^3/2 + C

Passo 5

Voltamos à variável x substituindo u = 1 + x^2, obtendo 23(1+x^2)^3/2 + C.

Resposta

23(1+x^2)^3/2 + C

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