Dado u=(a, b) um vetor unitário, utilize a definição para mostrar que Du f(0,0)=a^3, onde
f(x, y)=cc x^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Observe que f é contínua, mas não diferenciável em (0,0). Logo, uma função pode ser contínua em um ponto, ter derivada direcional em todas as direções neste ponto e mesmo assim não ser diferenciável.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um vetor unitário f(x, y) = x^3x^2 + y^2, & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0) e uma função definida por:
A pergunta quer que a gente mostre, usando a definição de derivada direcional, que . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional e como aplicá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada direcional. A derivada direcional de uma função Du f(x0, y0) = limh to 0 f(x0 + h a, y0 + h b) - f(x0, y0)h em um ponto Du f(0,0) = limh to 0 f(0 + h a, 0 + h b) - f(0,0)h na direção do vetor unitário é dada por:
No nosso caso, queremos calcular , então substituímos e :

Passo 3

Sabemos que Du f(0,0) = limh to 0 f(h a, h b)h , então a expressão fica:
f(h a, h b) = (h a)^3(h a)^2 + (h b)^2 = h^3 a^3h^2(a^2 + b^2) = h^3 a^3h^2 cdot 1 = h a^3
Agora, vamos substituir na expressão. Como para , usamos a primeira parte da definição de :
Aqui, simplificamos porque é um vetor unitário.

Passo 4

Substituindo de volta na expressão da derivada direcional:
Du f(0,0) = limh to 0 h a^3h = limh to 0 a^3 = a^3
Assim, mostramos que a derivada direcional de na direção de em é .

Resposta

Portanto, .

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