Dado
um vetor unitário, utilize a definição para mostrar que
, onde
Observe que
é contínua, mas não diferenciável em
. Logo, uma função pode ser contínua em um ponto, ter derivada direcional em todas as direções neste ponto e mesmo assim não ser diferenciável.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um vetor unitário
e uma função
definida por:
A pergunta quer que a gente mostre, usando a definição de derivada direcional, que
. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional e como aplicá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada direcional. A derivada direcional de uma função
em um ponto
na direção do vetor unitário
é dada por:
No nosso caso, queremos calcular
, então substituímos
e
:
Passo 3
Sabemos que
, então a expressão fica:
Agora, vamos substituir
na expressão. Como
para
, usamos a primeira parte da definição de
:
Aqui, simplificamos
porque
é um vetor unitário.
Passo 4
Substituindo de volta na expressão da derivada direcional:
Assim, mostramos que a derivada direcional de
na direção de
em
é
.
Resposta
Portanto,
.