Uma bola é lançada ao chão de uma altura e. Se o coeficiente de restituição for varepsilon, escreva expressões para o tempo total que a bola levará para parar de quicar e a distância total que ela percorrerá nesse tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma bola que é lançada de uma certa altura $ h $ e bate no chão. Queremos descobrir duas coisas:
  1. Quanto tempo total a bola leva para parar de quicar.
  2. Qual a distância total que a bola percorre nesse tempo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados ao movimento de queda livre e ao coeficiente de restituição ($ \varepsilon $), que nos indica o quanto da velocidade da bola é mantida após cada quique.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente de restituição ($ \varepsilon $). Ele é definido como a razão entre a velocidade da bola após o impacto e a velocidade antes do impacto:
varepsilon ó
Isso significa que, a cada quique, a bola perde uma parte da sua velocidade, tornando os quicados subsequentes menores.

Passo 3

Vamos calcular o tempo que a bola leva para cair pela primeira vez. Usamos a fórmula da queda livre:
h = 12 g t1^2
Onde:
  • $ h $ é a altura inicial,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $),
  • $ t_1 $ é o tempo de queda.
Resolvendo para $ t_1 $:
h

Passo 4

Após o primeiro quique, a bola sobe até uma altura menor devido ao coeficiente de restituição. A nova altura ($ h_2 $) é:
h2
O tempo para subir até $ h_2 $ e voltar ao chão é o mesmo para subir e descer, então o tempo total para esse ciclo é:
h2 = varepsilon^2 h

Passo 5

Percebemos que, a cada quique, o tempo do ciclo é multiplicado por $ \varepsilon varepsilon T $) é a soma de uma série geométrica infinita:
T
Fatorando $ t_1 $:
T = t1 + t2 + t3 + dots = t1 + 2varepsilon t1 + 2varepsilon^2 t1 + dots
Essa é uma série geométrica com razão $ \varepsilon $, e a soma dela é:
t1
Substituindo $ t_1 $:
T = t1 (1 + 2varepsilon + 2varepsilon^2 + 2varepsilon^3 + dots )

Passo 6

Agora, vamos calcular a distância total percorrida pela bola. A distância na primeira queda é $ h $.
Em cada quique subsequente, a bola sobe e desce novamente, percorrendo uma distância de $ 2h_k $, onde $ h_k $ é a altura de cada quique.
A altura em cada quique é:
h
Então, a distância total ($ D $) é:
2hk
Fatorando $ h $:
hk
Essa é outra série geométrica com razão $ \varepsilon^2 $, cuja soma é:
hk = varepsilon^2(k-1)h

Resposta

O tempo total para a bola parar de quicar é:
T = raiz2hg cdot 1 + varepsilon1 - varepsilon
E a distância total percorrida pela bola é:
D = h cdot 1 + varepsilon^21 - varepsilon^2

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