Uma bola é lançada ao chão de uma altura e. Se o coeficiente de restituição for
, escreva expressões para o tempo total que a bola levará para parar de quicar e a distância total que ela percorrerá nesse tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma bola que é lançada de uma certa altura $ h $ e bate no chão. Queremos descobrir duas coisas:
- Quanto tempo total a bola leva para parar de quicar.
- Qual a distância total que a bola percorre nesse tempo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados ao movimento de queda livre e ao coeficiente de restituição ($ \varepsilon $), que nos indica o quanto da velocidade da bola é mantida após cada quique.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente de restituição ($ \varepsilon $). Ele é definido como a razão entre a velocidade da bola após o impacto e a velocidade antes do impacto:
Isso significa que, a cada quique, a bola perde uma parte da sua velocidade, tornando os quicados subsequentes menores.
Passo 3
Vamos calcular o tempo que a bola leva para cair pela primeira vez. Usamos a fórmula da queda livre:
Onde:
- $ h $ é a altura inicial,
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $),
- $ t_1 $ é o tempo de queda.
Resolvendo para $ t_1 $:
Passo 4
Após o primeiro quique, a bola sobe até uma altura menor devido ao coeficiente de restituição. A nova altura ($ h_2 $) é:
O tempo para subir até $ h_2 $ e voltar ao chão é o mesmo para subir e descer, então o tempo total para esse ciclo é:
Passo 5
Percebemos que, a cada quique, o tempo do ciclo é multiplicado por $ \varepsilon
T $) é a soma de uma série geométrica infinita:
Fatorando $ t_1 $:
Essa é uma série geométrica com razão $ \varepsilon $, e a soma dela é:
Substituindo $ t_1 $:
Passo 6
Agora, vamos calcular a distância total percorrida pela bola. A distância na primeira queda é $ h $.
Em cada quique subsequente, a bola sobe e desce novamente, percorrendo uma distância de $ 2h_k $, onde $ h_k $ é a altura de cada quique.
A altura em cada quique é:
Então, a distância total ($ D $) é:
Fatorando $ h $:
Essa é outra série geométrica com razão $ \varepsilon^2 $, cuja soma é:
Resposta
O tempo total para a bola parar de quicar é:
E a distância total percorrida pela bola é: