Uma partícula é lançada do topo de uma mesa com 1,20 \mathrm{~m} de altura. Tal lançamento é caracterizado por uma velocidade de 4,50 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e 50,0^{\circ} de inclinação com a horizontal. Em relação a base da mesa: (a) Que distância horizontal percorreu a partícula meio segundo após o lançamento? (b) Qual a velocidade da partícula (módulo e direção)? (d) Qual a aceleração (justifique)? (e) A partícula está subindo ou descendo (justifique)?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
Dados fornecidos:
  • Altura da mesa: h=1,20\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade inicial: v_0=4,50\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo de lançamento com a horizontal: \theta=50,0^\circ.
  • Tempo pedido para (a) e (b): t=0,50\\ \mathrm{s}.
  • Aceleração da gravidade (usar): g=9,80\\ \mathrm{m/s^2} (para baixo).
Perguntas do enunciado (em relação à base da mesa):
(a) Que distância horizontal percorreu a partícula meio segundo após o lançamento?
(b) Qual a velocidade da partícula (módulo e direção) meio segundo após o lançamento?
(d) Qual a aceleração (justifique)?
(e) A partícula está subindo ou descendo (justifique)?

Passo 2

Entender como resolver: para movimentos oblíquos sem resistência do ar decompõe-se o movimento em eixos ortogonais x (horizontal) e y (vertical). A velocidade inicial tem componentes:
v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta.
Explicação das fórmulas: \cos\theta é a razão entre a projeção horizontal da velocidade e o módulo v_0; \sin\theta é a razão entre a projeção vertical e v_0. Essas componentes são úteis porque a aceleração da gravidade atua só no eixo vertical, então o movimento horizontal é com velocidade constante e o vertical é com aceleração constante -g.
Vamos calcular as componentes numéricas (usar calculadora ou tabelas de seno e cosseno):
\cos50{,}0^\circ\approx0{,}642787,\qquad \sin50{,}0^\circ\approx0{,}766044.
Portanto
v_{0x}=4{,}50\cdot0{,}642787\approx2{,}893\\ \mathrm{m/s}, \qquad v_{0y}=4{,}50\cdot0{,}766044\approx3{,}447\\ \mathrm{m/s}.
Comentários amigáveis: pense que v_{0x} é a “velocidade que empurra a partícula para a frente” e v_{0y} é a “velocidade que empurra para cima”.

Passo 3

(a) Distância horizontal percorrida em t=0{,}50\\ \mathrm{s}.
Fórmula do movimento horizontal (velocidade constante):
x(t)=v_{0x}\,t.
Substituindo valores:
x(0{,}50)=2{,}893\cdot0{,}50\approx1{,}447\\ \mathrm{m}.
Interpretação simples: meio segundo após o lançamento a partícula avançou horizontalmente cerca de 1{,}45\\ \mathrm{m} a partir da vertical da base da mesa.

Passo 4

(b) Velocidade da partícula aos 0{,}50\\ \mathrm{s} — componente por componente, depois módulo e direção.
Componente horizontal da velocidade:
v_x(t)=v_{0x}=2{,}893\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{constante}).
Componente vertical da velocidade (movimento uniformemente acelerado):
v_y(t)=v_{0y}-g\,t.
Substituindo t=0{,}50\\ \mathrm{s}:
v_y(0{,}50)=3{,}447-9{,}80\cdot0{,}50=3{,}447-4{,}900\approx-1{,}453\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: o sinal negativo em v_y indica que a componente vertical está apontando para baixo nesse instante (a partícula está com velocidade descendente verticalmente).
Agora o módulo (velocidade escalar) e a direção (ângulo em relação à horizontal):
\text{módulo:}\quad v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} =\sqrt{(2{,}893)^2+(-1{,}453)^2} \approx3{,}238\\ \mathrm{m/s}.ó
\text{direção:}\quad \alpha=\arctan\!\left(\frac{v_y}{v_x}\right) =\arctan\!\left(\frac{-1{,}453}{2{,}893}\right)\approx-26{,}6^\circ.çã
Interpretação do ângulo: \alpha\approx-26{,}6^\circ significa 26{,}6^\circ abaixo da horizontal (o sinal negativo indica abaixo).

Passo 5

(d) Aceleração (e justificativa).
No movimento em projétil sem resistência do ar, a única aceleração presente é a devida à gravidade, que é vertical e para baixo, e tem magnitude constante g. Assim a aceleração vetorial é
\vec{a}=(0,\,-g)=(0,\,-9{,}80)\\ \mathrm{m/s^2},
onde a primeira componente é a aceleração na direção x (zero) e a segunda é na direção y (para baixo). Justificativa em palavras: não há força horizontal (desprezando atrito do ar), a força peso é vertical e constante, logo a aceleração horizontal é nula e a vertical é constante para baixo.

Passo 6

(e) A partícula está subindo ou descendo — justifique.
Método 1 (sinal de v_y): encontramos v_y(0{,}50)\approx-1{,}453\\ \mathrm{m/s}, que é negativo, portanto a componente vertical da velocidade aponta para baixo — a partícula está descendo nesse instante.
Método 2 (verificando tempo até o vértice): tempo para atingir o ponto mais alto (quando v_y=0) é
t_{\text{top}}=\frac{v_{0y}}{g}=\frac{3{,}447}{9{,}80}\approx0{,}352\\ \mathrm{s}.
Como 0{,}50\\ \mathrm{s}>0{,}352\\ \mathrm{s}, o instante 0{,}50\\ \mathrm{s} é posterior ao vértice, logo a partícula já passou pelo ponto mais alto e está descendo. Ambos os argumentos concordam.

Resposta

(a) x(0{,}50)\approx1{,}447\\ \mathrm{m}.
(b) v\approx3{,}238\\ \mathrm{m/s}, direção \approx26{,}6^\circ abaixo da horizontal.
(d) \vec{a}=(0,\,-9{,}80)\\ \mathrm{m/s^2} (constante, para baixo).
(e) A partícula está descendo (pois v_y(0{,}50)\approx-1{,}453\\ \mathrm{m/s}<0 e 0{,}50\\ \mathrm{s}>t_{\text{top}}\approx0{,}352\\ \mathrm{s}).

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