Uma partícula move-se de tal forma que seu vetor posição na partícula é dado por \vec{r}(t)=\left(t^{2}-3,0 t^{3}\right) \hat{\mathrm{i}}+\left(6,0 t-2,0 t^{3}\right) \hat{\mathrm{j}} em unidades do S.I. (a) Determine os vetores velocidade e aceleração como funções do tempo. (b) Determine a velocidade e aceleração iniciais. (c) Em qual instante a partícula passa pelo eixo oy e com qual distância a partícula está da origem em t=2,0 s e com qual aceleração (módulo).

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor posição da partícula (peguei os coeficientes e sinais diretamente do enunciado):
\vec{r}(t)=\bigl(t^{2}-3,0\,t^{3}\bigr)\hat{\imath}+\bigl(6,0\,t-2,0\,t^{3}\bigr)\hat{\jmath}.
As perguntas são:
(a) Determinar os vetores velocidade e aceleração como funções do tempo.
(b) Determinar a velocidade e aceleração iniciais.
(c) Determinar em que instante a partícula passa pelo eixo oy (isto é, quando x=0), a que distância da origem a partícula está em t=2,0\\ \text{s} e qual é o módulo da aceleração em t=2,0\\ \text{s}.

Passo 2

Vamos lembrar a regra básica que usaremos para derivar as componentes: a derivada de t^{n} é n\,t^{n-1} (regra do expoente). Para uma combinação linear de potências de t, deriva-se termo a termo. Também, a derivada de uma constante multiplicada por uma função é essa constante vezes a derivada da função.
Aplicando isso componente a componente, escrevemos primeiro as componentes escalares de \vec r(t):
x(t)=t^{2}-3,0\,t^{3},\qquad y(t)=6,0\,t-2,0\,t^{3}.
Agora calculamos a velocidade \vec v(t)=\dfrac{d\vec r}{dt} derivando cada componente:
  • Derivada de x(t): \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t.
    \dfrac{d}{dt}\bigl(-3,0\,t^{3}\bigr)=-3,0\cdot 3\,t^{2}=-9,0\,t^{2}.
    Portanto v_x(t)=2t-9,0\,t^{2}.
  • Derivada de y(t): \dfrac{d}{dt}\bigl(6,0\,t\bigr)=6,0.
    \dfrac{d}{dt}\bigl(-2,0\,t^{3}\bigr)=-2,0\cdot 3\,t^{2}=-6,0\,t^{2}.
    Portanto v_y(t)=6,0-6,0\,t^{2}.
Juntando em forma vetorial:
\vec v(t)=\bigl(2t-9,0\,t^{2}\bigr)\hat{\imath}+\bigl(6,0-6,0\,t^{2}\bigr)\hat{\jmath}.

Passo 3

Agora calculamos a aceleração \vec a(t)=\dfrac{d\vec v}{dt}=\dfrac{d^{2}\vec r}{dt^{2}} derivando as componentes de \vec v(t).
Derivadas termo a termo:
  • Para v_x(t)=2t-9,0\,t^{2}:
    \dfrac{d}{dt}(2t)=2, \dfrac{d}{dt}(-9,0\,t^{2})=-9,0\cdot 2\,t=-18,0\,t.
    Logo a_x(t)=2-18,0\,t.
  • Para v_y(t)=6,0-6,0\,t^{2}:
    \dfrac{d}{dt}(6,0)=0, \dfrac{d}{dt}(-6,0\,t^{2})=-6,0\cdot 2\,t=-12,0\,t.
    Logo a_y(t)=-12,0\,t.
Em forma vetorial:
\vec a(t)=\bigl(2-18,0\,t\bigr)\hat{\imath}+\bigl(-12,0\,t\bigr)\hat{\jmath}.

Passo 4

Resposta da parte (b): velocidade e aceleração iniciais significam t=0. Avaliamos \vec v(0) e \vec a(0).
Substituindo t=0 em \vec v(t):
v_x(0)=2\cdot 0-9,0\cdot 0^{2}=0,\qquad v_y(0)=6,0-6,0\cdot 0^{2}=6,0.
Logo
\vec v(0)=0\\ \hat{\imath}+6,0\\ \hat{\jmath}\\ \text{(m/s)}.
Substituindo t=0 em \vec a(t):
a_x(0)=2-18,0\cdot 0=2,\qquad a_y(0)=-12,0\cdot 0=0.
Logo
\vec a(0)=2\\ \hat{\imath}+0\\ \hat{\jmath}\\ \text{(m/s}^{2}\text{)}.

Passo 5

Agora a parte (c), primeiro: em que instante a partícula passa pelo eixo oy. Passar pelo eixo oy significa que a coordenada x(t) é zero. Resolvemos
x(t)=t^{2}-3,0\,t^{3}=0.
Fatorando t^{2}:
t^{2}\bigl(1-3,0\,t\bigr)=0.
As soluções são t^{2}=0\Rightarrow t=0 e 1-3,0\,t=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{3,0}=0,333\ldots\\ \text{s}.
(Se o contexto da questão considerar apenas t\ge 0, estas duas soluções são relevantes; t=0 é o instante inicial e t\approx 0,333\\ \text{s} é outro instante em que a partícula cruza o eixo oy.)

Passo 6

Ainda em (c): distância da origem em t=2,0\\ \text{s}. Primeiro calculamos \vec r(2,0) componente a componente.
Para t=2,0:
x(2,0)= (2,0)^{2}-3,0\,(2,0)^{3}=4-3,0\cdot 8=4-24=-20\\ \text{m}.
y(2,0)=6,0\cdot 2,0-2,0\,(2,0)^{3}=12-2,0\cdot 8=12-16=-4\\ \text{m}.
Portanto \vec r(2,0)=(-20)\hat{\imath}+(-4)\hat{\jmath} em metros.
A distância do ponto à origem é o módulo do vetor posição:
\text{dist}=\sqrt{x(2,0)^{2}+y(2,0)^{2}}=\sqrt{(-20)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{400+16}=\sqrt{416}.
Podemos simplificar \sqrt{416}=\sqrt{16\cdot 26}=4\sqrt{26}. Em aproximação decimal:
4\sqrt{26}\approx 20,396\\ \text{m}.

Passo 7

Ainda em (c): aceleração (módulo) em t=2,0\\ \text{s}. Usamos \vec a(t) calculada no Passo 3 e avaliamos em t=2,0.
Componentes em t=2,0:
a_x(2,0)=2-18,0\cdot 2,0=2-36=-34\\ \text{m/s}^{2},
a_y(2,0)=-12,0\cdot 2,0=-24\\ \text{m/s}^{2}.
O módulo é
\lVert \vec a(2,0)\rVert=\sqrt{(-34)^{2}+(-24)^{2}}=\sqrt{1156+576}=\sqrt{1732}.
Fatorando 1732=4\cdot 433 obtemos \sqrt{1732}=2\sqrt{433}. Em aproximação decimal:
2\sqrt{433}\approx 41,618\\ \text{m/s}^{2}.

Resposta

(a) \displaystyle \vec v(t)=\bigl(2t-9,0\,t^{2}\bigr)\hat{\imath}+\bigl(6,0-6,0\,t^{2}\bigr)\hat{\jmath},\quad \displaystyle \vec a(t)=\bigl(2-18,0\,t\bigr)\hat{\imath}+\bigl(-12,0\,t\bigr)\hat{\jmath}.
(b) \displaystyle \vec v(0)=0\\ \hat{\imath}+6,0\\ \hat{\jmath}\\ \text{(m/s)},\quad \displaystyle \vec a(0)=2\\ \hat{\imath}+0\\ \hat{\jmath}\\ \text{(m/s}^{2}\text{)}.
(c) A partícula está no eixo oy em t=0 e em t=\dfrac{1}{3,0}\approx 0,333\ldots\\ \text{s}.
Distância da origem em t=2,0\\ \text{s}: \displaystyle 4\sqrt{26}\\ \text{m}\approx 20,396\\ \text{m}.
Módulo da aceleração em t=2,0\\ \text{s}: \displaystyle 2\sqrt{433}\\ \text{m/s}^{2}\approx 41,618\\ \text{m/s}^{2}.

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