Uma partícula move-se de tal forma que seu vetor posição na partícula é dado por
em unidades do S.I. (a) Determine os vetores velocidade e aceleração como funções do tempo. (b) Determine a velocidade e aceleração iniciais. (c) Em qual instante a partícula passa pelo eixo oy e com qual distância a partícula está da origem em
e com qual aceleração (módulo).
Passo 1
O enunciado nos dá o vetor posição da partícula (peguei os coeficientes e sinais diretamente do enunciado):
As perguntas são:
(a) Determinar os vetores velocidade e aceleração como funções do tempo.
(b) Determinar a velocidade e aceleração iniciais.
(c) Determinar em que instante a partícula passa pelo eixo (isto é, quando
), a que distância da origem a partícula está em
e qual é o módulo da aceleração em
.
(a) Determinar os vetores velocidade e aceleração como funções do tempo.
(b) Determinar a velocidade e aceleração iniciais.
(c) Determinar em que instante a partícula passa pelo eixo
Passo 2
Vamos lembrar a regra básica que usaremos para derivar as componentes: a derivada de
é
(regra do expoente). Para uma combinação linear de potências de
, deriva-se termo a termo. Também, a derivada de uma constante multiplicada por uma função é essa constante vezes a derivada da função.
Aplicando isso componente a componente, escrevemos primeiro as componentes escalares de
:
Agora calculamos a velocidade
derivando cada componente:
- Derivada de
: .
.
Portanto - Derivada de
: .
.
Portanto
Juntando em forma vetorial:
Passo 3
Agora calculamos a aceleração
derivando as componentes de
.
Derivadas termo a termo:
- Para
:
, .
Logo - Para
:
, .
Logo
Em forma vetorial:
Passo 4
Resposta da parte (b): velocidade e aceleração iniciais significam
. Avaliamos
e
.
Substituindo
em
:
Logo
Substituindo
em
:
Logo
Passo 5
Agora a parte (c), primeiro: em que instante a partícula passa pelo eixo
. Passar pelo eixo
significa que a coordenada
é zero. Resolvemos
Fatorando
:
As soluções são
e
(Se o contexto da questão considerar apenas , estas duas soluções são relevantes;
é o instante inicial e
é outro instante em que a partícula cruza o eixo
.)
(Se o contexto da questão considerar apenas
Passo 6
Ainda em (c): distância da origem em
. Primeiro calculamos
componente a componente.
Para
:
Portanto
em metros.
A distância do ponto à origem é o módulo do vetor posição:
Podemos simplificar
. Em aproximação decimal:
Passo 7
Ainda em (c): aceleração (módulo) em
. Usamos
calculada no Passo 3 e avaliamos em
.
Componentes em
:
O módulo é
Fatorando
obtemos
. Em aproximação decimal:
Resposta
(a)
(b)
(c) A partícula está no eixo
em
e em
Distância da origem em :
Módulo da aceleração em :
Distância da origem em
Módulo da aceleração em