Uma bola é lançada horizontalmente de uma altura H com velocidade v e percorre uma distância horizontal R. (b) A partir dos conceitos de análise dimensional, encontre uma relação envolvendo as quantidades R, H, v e g.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente usar análise dimensional para encontrar uma relação entre as quantidades R (distância horizontal), H (altura), v (velocidade inicial) e g (aceleração da gravidade). Isso envolve física básica de movimento e algumas manhas de matemática para relacionar essas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões de cada uma dessas grandezas:
  • R tem dimensão de comprimento, representada por [L].
  • H também é um comprimento, então [H] = [L].
  • v é velocidade, que tem dimensão de comprimento por tempo, [v] = [L][T]^-1.
  • g é aceleração, ou seja, comprimento por tempo ao quadrado, [g] = [L][T]^-2.

Passo 3

Agora, queremos encontrar uma relação que combine R, H, v e g de maneira dimensionalmente consistente. Vamos supor que R possa ser expressa como uma combinação de v, H e g na forma:
R = k cdot v^a cdot H^b cdot g^c
Aqui, k é uma constante adimensional e a, b, c são os expoentes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos substituir as dimensões de cada termo na equação:
[L] = [L][T]^-1]^a cdot [L]^b cdot [L][T]^-2]^c
Simplificando as potências:
[L] = [L]^a [T]^-a cdot [L]^b cdot [L]^c [T]^-2c
Agora, juntamos os termos semelhantes:
[L] = [L]^a + b + c cdot [T]^-a - 2c

Passo 5

Para que as dimensões dos dois lados da equação sejam iguais, os expoentes de [L] e [T] devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:
  1. Para o comprimento:
a + b + c = 1
  1. Para o tempo:
-a - 2c = 0

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação:
-a - 2c = 0 Rightarrow a = -2c
Substituindo a = -2c na primeira equação:
-2c + b + c = 1 Rightarrow -c + b = 1 Rightarrow b = c + 1

Passo 7

Como temos duas equações com três incógnitas, podemos escolher um valor para c. Uma escolha comum é c = 1, facilitando os cálculos.
Então:
a = -2(1) = -2
b = 1 + 1 = 2

Passo 8

Substituindo os valores de a, b e c na equação original:
R = k cdot v^-2 cdot H^2 cdot g^1
Podemos reescrever isso como:
R = k cdot H^2 cdot gv^2

Resposta

A relação dimensional entre as quantidades é:
R = k cdot H^2gv^2
Onde k é uma constante adimensional.

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