Uma bola é lançada horizontalmente de uma altura
com velocidade
e percorre uma distância horizontal
. (b) A partir dos conceitos de análise dimensional, encontre uma relação envolvendo as quantidades
, H, v e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente usar análise dimensional para encontrar uma relação entre as quantidades
(distância horizontal),
(altura),
(velocidade inicial) e
(aceleração da gravidade). Isso envolve física básica de movimento e algumas manhas de matemática para relacionar essas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões de cada uma dessas grandezas:
-
tem dimensão de comprimento, representada por . -
também é um comprimento, então . -
é velocidade, que tem dimensão de comprimento por tempo, . -
é aceleração, ou seja, comprimento por tempo ao quadrado, .
Passo 3
Agora, queremos encontrar uma relação que combine
,
,
e
de maneira dimensionalmente consistente. Vamos supor que
possa ser expressa como uma combinação de
,
e
na forma:
Aqui,
é uma constante adimensional e
,
,
são os expoentes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos substituir as dimensões de cada termo na equação:
Simplificando as potências:
Agora, juntamos os termos semelhantes:
Passo 5
Para que as dimensões dos dois lados da equação sejam iguais, os expoentes de
e
devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:
- Para o comprimento:
- Para o tempo:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Como temos duas equações com três incógnitas, podemos escolher um valor para
. Uma escolha comum é
, facilitando os cálculos.
Então:
Passo 8
Substituindo os valores de
,
e
na equação original:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
A relação dimensional entre as quantidades é:
Onde
é uma constante adimensional.