Um projétil é lançado com um ângulo de
com a horizontal e percorre uma distância
(chamada de alcance), a qual só depende da velocidade inicial
e da aceleração da gravidade
. Utilizando conceitos de análise dimensional, determine a dependência entre
, v e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para descobrir como o alcance $ R $ de um projétil lançado a $ 45^{\circ} $ depende da velocidade inicial $ v $ e da aceleração da gravidade $ g $. A matéria envolvida é Análise Dimensional, que ajuda a relacionar as grandezas físicas usando suas unidades. Vamos precisar identificar as unidades de $ R $, $ v $ e $ g $ e combinar essas grandezas de forma que as unidades se equilibrem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as unidades de cada grandeza:
- Alcance $ R
m $). - Velocidade inicial $ v
m/s $). - Aceleração da gravidade $ g
m/s^2 $).
Passo 3
Agora, queremos expressar $ R $ como uma combinação de $ v $ e $ g $. Vamos supor que $ R $ depende de $ v $ elevado a uma potência $ a $ e de $ g $ elevado a uma potência $ b $. Ou seja:
Passo 4
Vamos substituir as unidades na equação para igualar as dimensões:
Simplificando as unidades:
Agrupando as potências de $ m $ e $ s $:
Passo 5
Para que as dimensões se equilibrem, os expoentes de $ m $ e $ s $ devem ser iguais dos dois lados:
- Para $ m $:
- Para $ s $:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, $ a = -2(-1) = 2 $.
Passo 7
Agora que temos $ a = 2 $ e $ b = -1 $, podemos escrever a relação:
Ou seja:
Onde $ k $ é uma constante adimensional.
Resposta
O alcance $ R $ depende da velocidade inicial e da gravidade da seguinte forma: