Um projétil é lançado com um ângulo de 45^circ com a horizontal e percorre uma distância R (chamada de alcance), a qual só depende da velocidade inicial v e da aceleração da gravidade g. Utilizando conceitos de análise dimensional, determine a dependência entre R, v e g.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para descobrir como o alcance $ R $ de um projétil lançado a $ 45^{\circ} $ depende da velocidade inicial $ v $ e da aceleração da gravidade $ g $. A matéria envolvida é Análise Dimensional, que ajuda a relacionar as grandezas físicas usando suas unidades. Vamos precisar identificar as unidades de $ R $, $ v $ e $ g $ e combinar essas grandezas de forma que as unidades se equilibrem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as unidades de cada grandeza:
  • Alcance $ R R m $).
  • Velocidade inicial $ v m m/s $).
  • Aceleração da gravidade $ g v m/s^2 $).

Passo 3

Agora, queremos expressar $ R $ como uma combinação de $ v $ e $ g $. Vamos supor que $ R $ depende de $ v $ elevado a uma potência $ a $ e de $ g $ elevado a uma potência $ b $. Ou seja:
R

Passo 4

Vamos substituir as unidades na equação para igualar as dimensões:
[m] = [ m/s ]^a cdot [ m/s^2 ]^b
Simplificando as unidades:
m = m^a cdot s^-a cdot m^b cdot s^-2b
Agrupando as potências de $ m $ e $ s $:
m

Passo 5

Para que as dimensões se equilibrem, os expoentes de $ m $ e $ s $ devem ser iguais dos dois lados:
  1. Para $ m $:
m
  1. Para $ s $:
s

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação:
0 = -a - 2b implies a = -2b
Substituindo na primeira equação:
1 = (-2b) + b implies 1 = -b implies b = -1
Então, $ a = -2(-1) = 2 $.

Passo 7

Agora que temos $ a = 2 $ e $ b = -1 $, podemos escrever a relação:
a = 2
Ou seja:
b = -1
Onde $ k $ é uma constante adimensional.

Resposta

O alcance $ R $ depende da velocidade inicial e da gravidade da seguinte forma:
R

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