Uma bola é lançada para o ar para leste a partir da origem (na di reção do eixo xpositivo). A velocidade inicial é
, com a velocidade medida em pés por segundo. A rotação da bola resulta em uma aceleração em direção ao sul de
, de modo que o vetor aceleração é
. Onde a bola cai e com que velocidade escalar?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma bola que é lançada para o leste a partir da origem, ou seja, do ponto (0,0,0). A velocidade inicial da bola é
pés por segundo. Além disso, a bola está girando, o que faz com que ela tenha uma aceleração na direção sul de
e uma aceleração para cima de
, resultando no vetor aceleração
. Nosso objetivo aqui é descobrir onde a bola vai cair (as coordenadas finais
,
) e qual será a velocidade escalar dela quando aterrissar.
Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento uniformemente acelerado em cada uma das direções (x, y, z). Vamos calcular o tempo que a bola leva para voltar ao solo (quando a posição z for zero novamente) e, com esse tempo, encontrar as posições finais nas direções leste (x) e sul (y), além da velocidade ao atingir o solo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a direção vertical, ou seja, a direção
. Sabemos que a posição vertical da bola em função do tempo
pode ser dada pela equação:
Aqui:
-
(a bola parte da origem), -
(velocidade inicial para cima), -
(aceleração para cima).
Queremos encontrar o tempo
em que a bola retorna ao solo, ou seja, quando
. Substituindo na equação:
Simplificando:
Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas soluções:
(o instante inicial) e
. Ignorando
, resolvemos:
Mas tempo não pode ser negativo, então isso indica que houve um erro no sinal da aceleração. Na verdade, a aceleração devido à gravidade deve ser negativa porque está agindo para baixo. Portanto, a aceleração correta é
.
Corrigindo a equação:
Agora, ignorando
:
Então, a bola leva 5 segundos para cair de volta ao solo.
Passo 3
Agora que sabemos que a bola está no ar por 5 segundos, vamos calcular onde ela vai cair, ou seja, as posições finais nas direções leste (
) e sul (
).
Primeiro, para a direção
(leste), usamos a equação:
Aqui:
-
(origem), -
, -
(não há aceleração na direção leste).
Então:
Agora, para a direção
(sul), usamos a equação:
Aqui:
-
(origem), -
(não há velocidade inicial na direção sul), -
.
Então:
Passo 4
Agora que temos as posições finais nas direções
e
, podemos determinar o ponto onde a bola cai. As coordenadas finais são:
Isso significa que a bola cai a 250 pés a leste e 50 pés ao sul da origem.
Passo 5
Por último, vamos calcular a velocidade escalar da bola no instante em que ela atinge o solo. Para isso, precisamos encontrar os componentes da velocidade nas direções
,
e
no tempo
.
As equações das velocidades são:
Substituindo os valores:
Agora, a velocidade escalar
é a magnitude do vetor velocidade
:
Resposta
A bola cai no ponto (250 ft a leste, 50 ft ao sul) e atinge o solo com uma velocidade escalar de aproximadamente 96,3 pés por segundo.