Uma bola é lançada para o ar para leste a partir da origem (na di reção do eixo xpositivo). A velocidade inicial é 50 i+80 k, com a velocidade medida em pés por segundo. A rotação da bola resulta em uma aceleração em direção ao sul de 4 p s / s^2, de modo que o vetor aceleração é a=4 j+32 k. Onde a bola cai e com que velocidade escalar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma bola que é lançada para o leste a partir da origem, ou seja, do ponto (0,0,0). A velocidade inicial da bola é v0 = 50,i + 80,k pés por segundo. Além disso, a bola está girando, o que faz com que ela tenha uma aceleração na direção sul de 4, ft/s^2 e uma aceleração para cima de 32, ft/s^2, resultando no vetor aceleração a = 4,j + 32,k. Nosso objetivo aqui é descobrir onde a bola vai cair (as coordenadas finais x, y) e qual será a velocidade escalar dela quando aterrissar.
Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento uniformemente acelerado em cada uma das direções (x, y, z). Vamos calcular o tempo que a bola leva para voltar ao solo (quando a posição z for zero novamente) e, com esse tempo, encontrar as posições finais nas direções leste (x) e sul (y), além da velocidade ao atingir o solo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a direção vertical, ou seja, a direção z. Sabemos que a posição vertical da bola em função do tempo t pode ser dada pela equação:
z(t) = z0 + vz0 cdot t + 12 az cdot t^2
Aqui:
  • z0 = 0 (a bola parte da origem),
  • vz0 = 80, ft/s (velocidade inicial para cima),
  • az = 32, ft/s^2 (aceleração para cima).
Queremos encontrar o tempo t em que a bola retorna ao solo, ou seja, quando z(t) = 0. Substituindo na equação:
0 = 0 + 80,t + 12 cdot 32,t^2
Simplificando:
0 = 80t + 16t^2
Podemos fatorar t:
t (80 + 16t) = 0
Isso nos dá duas soluções: t = 0 (o instante inicial) e 80 + 16t = 0. Ignorando t = 0, resolvemos:
80 + 16t = 0 Rightarrow t = -8016 = -5, segundos
Mas tempo não pode ser negativo, então isso indica que houve um erro no sinal da aceleração. Na verdade, a aceleração devido à gravidade deve ser negativa porque está agindo para baixo. Portanto, a aceleração correta é az = -32, ft/s^2.
Corrigindo a equação:
0 = 0 + 80t - 16t^2 Rightarrow 16t^2 - 80t = 0 Rightarrow t(16t - 80) = 0
Agora, ignorando t = 0:
16t - 80 = 0 Rightarrow t = 8016 = 5, segundos
Então, a bola leva 5 segundos para cair de volta ao solo.

Passo 3

Agora que sabemos que a bola está no ar por 5 segundos, vamos calcular onde ela vai cair, ou seja, as posições finais nas direções leste ( x) e sul ( y).
Primeiro, para a direção x (leste), usamos a equação:
x(t) = x0 + vx0 cdot t + 12 ax cdot t^2
Aqui:
  • x0 = 0 (origem),
  • vx0 = 50, ft/s,
  • ax = 0 (não há aceleração na direção leste).
Então:
x(5) = 0 + 50 cdot 5 + 12 cdot 0 cdot 5^2 = 250, ft
Agora, para a direção y (sul), usamos a equação:
y(t) = y0 + vy0 cdot t + 12 ay cdot t^2
Aqui:
  • y0 = 0 (origem),
  • vy0 = 0 (não há velocidade inicial na direção sul),
  • ay = 4, ft/s^2.
Então:
y(5) = 0 + 0 cdot 5 + 12 cdot 4 cdot 5^2 = 0 + 0 + 50 = 50, ft

Passo 4

Agora que temos as posições finais nas direções x e y, podemos determinar o ponto onde a bola cai. As coordenadas finais são:
(x, y) = (250, ft, 50, ft)
Isso significa que a bola cai a 250 pés a leste e 50 pés ao sul da origem.

Passo 5

Por último, vamos calcular a velocidade escalar da bola no instante em que ela atinge o solo. Para isso, precisamos encontrar os componentes da velocidade nas direções x, y e z no tempo t = 5, segundos.
As equações das velocidades são:
vx(t) = vx0 + ax cdot t
vy(t) = vy0 + ay cdot t
vz(t) = vz0 + az cdot t
Substituindo os valores:
vx(5) = 50 + 0 cdot 5 = 50, ft/s
vy(5) = 0 + 4 cdot 5 = 20, ft/s
vz(5) = 80 + (-32) cdot 5 = 80 - 160 = -80, ft/s
Agora, a velocidade escalar v é a magnitude do vetor velocidade v = vx,i + vy,j + vz,k:
v = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 = raiz50^2 + 20^2 + (-80)^2 = raiz2500 + 400 + 6400 = raiz9300 approx 96.3, ft/s

Resposta

A bola cai no ponto (250 ft a leste, 50 ft ao sul) e atinge o solo com uma velocidade escalar de aproximadamente 96,3 pés por segundo.

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